判定与构造间断点

题目

判断或构造下列函数的间断点类型：

1. $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，定义域 $\mathbb{R}\setminus \{1\}$。指出 $x_0=1$ 的间断类型。

2. $g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x<0\\ 1& x=0\\ x+1& x>0\end{array}$。指出 $x_0=0$ 的间断类型。

3. $h(x)=\frac{1}{x^2-4}$。找出所有间断点并分类。

4. 构造：给出一个函数 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使其在 $x_0=0$ 处发生振荡间断，且 $\varphi$ 在其他点处处连续。

提示

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• 第 1 题：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，约分。
• 第 2 题：分别求 $g(0^{-})$ 和 $g(0^{+})$，对比 $g(0)$。
• 第 3 题：分母 $x^2-4=(x-2)(x+2)$。
• 第 4 题：经典构造形如 $\varphi (x)=\sin (1/x)$（$x\ne 0$），$\varphi (0):=0$； 其他点连续性由复合函数连续性保证。

解答

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第 1 题

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$（$x\ne 1$）。

$f(1^{-})=f(1^{+})=1+1=2$，但 $f(1)$ 未定义。

⇒ 可去间断点（重新定义 $f(1):=2$ 即可使其在 $\mathbb{R}$ 上连续）。

第 2 题

• $g(0^{-})={\lim }_{x\to 0^{-}}{x}^2=0$
• $g(0^{+})={\lim }_{x\to 0^{+}}(x+1)=1$

两个单侧极限都存在但 $0\ne 1$。

⇒ 跳跃间断点，跳跃量 $|1-0|=1$。 （注意：即便我们重新定义 $g(0)=0$ 或 $g(0)=1$，仍无法消除跳跃。）

第 3 题

分母 $x^2-4=0$ 当 $x=\pm 2$。$h$ 在 $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$ 处连续。

$x_0=2$：

• $h(2^{-})={\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{0^{-}\cdot 4}=-\infty$
• $h(2^{+})=\frac{1}{0^{+}\cdot 4}=+\infty$

至少一侧 $=\pm \infty$ ⇒ 无穷间断点。

$x_0=-2$：

• $h((-2{)}^{-})=\frac{1}{(\to -4)\cdot 0^{-}}=+\infty$
• $h((-2{)}^{+})=\frac{1}{(-4)\cdot 0^{+}}=-\infty$

⇒ 同样是无穷间断点。

第 4 题（构造）

取

$$\varphi (x)=\{\begin{array}{ll}\sin (1/x)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

$x_0=0$ 处： 取 $x_n=\frac{1}{n\pi }\to 0$，$\varphi (x_n)=\sin (n\pi )=0\to 0$。 取 $y_n=\frac{2}{(4n+1)\pi }\to 0$，$\varphi (y_n)=\sin (\frac{(4n+1)\pi }{2})=1\to 1$。 两个数列都 $\to 0$ 但 $\varphi$ 像收敛于不同极限——由 Heine 归结原则反向， ${\lim }_{x\to 0}\varphi (x)$ 不存在，且不为 $\pm \infty$（$|\varphi |\le 1$）。

⇒ 振荡间断点。

$x\ne 0$ 处：$1/x$ 是连续函数，$\sin$ 是连续函数，复合函数连续 ⇒ $\varphi$ 连续。$■$

考察点

• ANL-DEF-011 单侧极限的计算
• ANL-DEF-013 间断点四种类型的判定路径

备注

• 第 3 题展示了同一函数在不同间断点可以有不同的”无穷符号”组合——左 $-\infty$、右 $+\infty$ 与左 $+\infty$、右 $-\infty$，本质都是”无穷间断”。
• 第 4 题的振荡间断 $\sin (1/x)$ 是分析中最重要的反例之一，与 ANL-DEF-024 一致连续性的反例（$x\sin (1/x)$、$\sin (x^2)$）一脉相承——都涉及”局部频率随 $x$ 变化无界”。