单侧极限

定义陈述

设 $f$ 在 $x_{0}$ 的某右去心邻域 $(x_{0}, x_{0} + r)$ 内有定义。

右极限： $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = L$ （也记作 $f (x_{0} + 0)$ ），若

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x : x_{0} < x < x_{0} + δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε .

左极限 $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ （记作 $f (x_{0} - 0)$ ）：把上式条件改为 $x_{0} - δ < x < x_{0}$ 。

$x \to x_{0} lim f (x) = L ⟺ f (x_{0} + 0) = f (x_{0} - 0) = L$ 。

即：双侧极限存在 ⇔ 左右极限都存在且相等。此条件给出判定极限存在性最便用的工具。

双侧极限要求”从任何方向走向 $x_{0}$ ，函数值都趋向同一终点”——这是一条严格条件。 单侧极限仅要求”从约定的一侧走向 $x_{0}$ “——条件更弱，所以更易存在。

形象图像：把 $f$ 的图像画出来，在 $x_{0}$ 处：

符号函数：

sgn (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 10 - 1 x > 0 x = 0 x < 0

在 $x_{0} = 0$ 处： $sgn (0^{+}) = 1, sgn (0^{-}) = - 1$ ，单侧极限均存在但不等，故 $lim_{x \to 0} sgn (x)$ 不存在——这是”跳跃间断”的典型。

取整函数 $⌊ x ⌋$ 在每个整数 $n$ 处： $⌊ n^{+} ⌋ = n, ⌊ n^{-} ⌋ = n - 1$ 。

✗ 把”单侧极限存在”等同于”极限存在”。反例： $sgn$ 在 $0$ 处单侧极限都存在，但双侧极限不存在。必须两侧都存在且相等。
✗ 误以为” $f$ 在 $x_{0}$ 不连续 ⇔ 单侧极限不存在”。反例：跳跃间断的 $sgn$ 不连续，但单侧极限均存在。间断点根据单侧极限的存在性可分为三类（详见 ANL-DEF-013）：
- 可去间断（双侧极限存在且相等，但 $\neq = f (x_{0})$ 或 $f (x_{0})$ 无定义）
- 跳跃间断（单侧极限存在但不等）
- 第二类间断（至少一侧极限不存在）
✗ 写法误用： $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ 与 $lim_{x \to x_{0} + 0}$ 等价；但 $f (x_{0} +)$ 与 $f (x_{0} + 0)$ 都常用。避免与 $f^{'} (x_{0} +)$ （右导数）混淆——后者是单侧导数符号。