连续与一致连续的边界判定（综合 6 题）

题目

判断下列函数在指定域上是否一致连续，给出严格证明或反例。 6 题按”边界程度”由易到难排列——边界 case 集中在第 4–6 题。

1. $f(x)=\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上。
2. $f(x)=\cos (x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上。
3. $f(x)=x\sin (1/x)$（$x\ne 0$，定义 $f(0)=0$）在 $[-1,1]$ 上。
4. $f(x)=x^2\sin (1/x)$（$x\ne 0$，$f(0)=0$）在 $\mathbb{R}$ 上。
5. $f(x)=\sin (x)/x$（$x\ne 0$，$f(0)=1$）在 $\mathbb{R}$ 上。
6. $f(x)=\sin (\sqrt{x})$ 在 $[0,+\infty )$ 上。

提示

点击展开提示

• 第 1 题：$|\sin a-\sin b|\le |a-b|$（用和差化积或中值定理），故 $\sin x$ 全局 Lipschitz ⇒ 一致连续。
• 第 2 题：与 ANL-PROB-031 类似——局部”频率”$\approx 2x$ 随 $x\to \infty$ 增长无界。预期非一致连续。
• 第 3 题：函数在 $[-1,1]$ 上连续（$x=0$ 处 $|f(x)|\le |x|\to 0$ 由夹逼可去），且闭区间 ⇒ 由 ANL-THM-015 Cantor 自动一致连续。
• 第 4 题：$\mathbb{R}$ 无界——但本题函数在大 $x$ 时增长 $\sim x^2$，类似 $x^2$，预期非一致连续。
• 第 5 题：注意 $|f(x)|\le 1/|x|\to 0$ 当 $|x|\to \infty$（实际上 $\to 0$），且 $f(0)=1$ 后函数全 $\mathbb{R}$ 连续；从大 $x$ 处看是衰减的振荡，或许一致连续。
• 第 6 题：$\sqrt{x}$ 增长慢，$\sin (\sqrt{x})$ 周期随 $x$ 增大而拉长——直觉上预期一致连续。

解答

点击展开完整解答

第 1 题：$\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上 ✅ 一致连续

证明：由中值定理，$|\sin a-\sin b|\le |a-b|$（因 $|\cos |\le 1$）。

任给 $\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon$。$\forall x_1,x_2:|x_1-x_2|<\delta ⟹|\sin x_1-\sin x_2|\le |x_1-x_2|<\epsilon$。$■$

关键：全局 Lipschitz 蕴含一致连续。

第 2 题：$\cos (x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上 ❌ 非一致连续

证明（反例）：取 $x_n=\sqrt{2n\pi },y_n=\sqrt{2n\pi +\pi }$。

• $|x_n-y_n|=\sqrt{2n\pi +\pi }-\sqrt{2n\pi }=\frac{\pi }{\sqrt{2n\pi +\pi }+\sqrt{2n\pi }}\to 0$。
• $|f(x_n)-f(y_n)|=|\cos (2n\pi )-\cos (2n\pi +\pi )|=|1-(-1)|=2$。

取 ${\epsilon }_0=2$，反命题成立 ⇒ 非一致连续。$■$

与 ANL-PROB-031 $\sin (x^2)$ 完全平行——核心症结都是”无界域 + 局部斜率无界”。

第 3 题：$x\sin (1/x)$（含 $f(0)=0$）在 $[-1,1]$ 上 ✅ 一致连续

证明：

第 1 步：$f$ 在 $[-1,1]$ 上连续。

• 在 $x\ne 0$ 处：复合函数 $1/x\to \mathbb{R}$、$\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、乘以 $x$ 都连续，故 $f$ 连续。
• 在 $x=0$ 处：$|f(x)-0|=|x\sin (1/x)|\le |x|\to 0$（$x\to 0$），由夹逼 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$ ⇒ $f$ 在 $0$ 处连续。

第 2 步：闭区间 $[-1,1]$ + 连续 ⇒ 由 ANL-THM-015 Cantor 定理，$f$ 一致连续。$■$

教训：奇点处用 $f(0)=0$ 做”可去间断修复”后，函数形态再奇怪，只要在闭区间上整体连续，Cantor 定理就保证一致连续。

第 4 题：$x^2\sin (1/x)$（含 $f(0)=0$）在 $\mathbb{R}$ 上 ❌ 非一致连续

证明（反例）：函数在大 $x$ 时主导项是 $x^2$（因 $\sin (1/x)\to \sin 0=0$ 但 $x^2\to \infty$）。

取 $x_n=\sqrt{2n\pi +\pi /2},y_n=\sqrt{2n\pi }$（让 $1/x_n\to 0$ 但用 $x^2$ 部分制造大跳跃）。

实际上更简单的反例：直接用第 2 题的策略——在大 $x$ 时 $f(x)\approx x^2\sin (1/x)\approx x\cdot (x/x)=x$ 量级问题略复杂。

更干净的方法：取 $x_n=n,y_n=n+1/n$。

• $|x_n-y_n|=1/n\to 0$。
• $f(n)=n^2\sin (1/n)$，$f(n+1/n)=(n+1/n{)}^2\sin (1/(n+1/n))$。
• 用 Taylor：$\sin (1/n)=1/n-O(1/n^3)$，故 $f(n)=n-O(1/n)$。
• 类似 $f(n+1/n)=(n+1/n)-O(1/n^3)$。
• $|f(x_n)-f(y_n)|\approx 1/n+O$ 等级——这并不大！

更准确的反例：取 $x_n=\sqrt{n},y_n=\sqrt{n+1}$ 或类似，使两者间 $\sin (1/x)$ 跨越多个周期且 $x^2$ 系数 $\sim n$。 具体：取 $x_n=\frac{1}{(2n+1/2)\pi },y_n=\frac{1}{(2n)\pi }$（注意这两者都 $\to 0$）， $f(x_n)=x_n^2\cdot 1$, $f(y_n)=y_n^2\cdot 0=0$。 $|f(x_n)-f(y_n)|=x_n^2=O(1/n^2)$——这又趋于 0，不构成反例。

真正的反例：本题的关键是”$\mathbb{R}$ 无界域 + $x^2$ 增长”。取

$$x_n=\sqrt{2n\pi },y_n=\sqrt{2n\pi }+\frac{1}{\sqrt{2n\pi }}.$$

• $|x_n-y_n|=\frac{1}{\sqrt{2n\pi }}\to 0$。
• 大 $x$ 时 $\sin (1/x)\approx 1/x$，故 $f(x)\approx x^2\cdot 1/x=x$。
• 因此 $|f(x_n)-f(y_n)|\approx |x_n-y_n|=O(1/\sqrt{n})\to 0$——也不构成反例！

修正分析：实际上 $x^2\sin (1/x)$ 在大 $x$ 时近似 $x^2\cdot (1/x-1/(6x^3)+\cdots )=x-1/(6x)+\cdots$，全局像 $x$ 的渐近线。导数 $f^{\prime }(x)=2x\sin (1/x)-\cos (1/x)\to 1$（$x\to \infty$，由 $2x\cdot 1/x=2$ 减 $\cos (0)=1$ 得 $1$）——有界。

故 $f$ 实际上是一致连续的（导数有界 ⇒ Lipschitz ⇒ 一致连续）。

修正答案：✅ 一致连续。

这道题展示了直觉可能误导——单凭”$\mathbb{R}$ 无界 + 含 $x^2$ 系数”就预期非一致连续是错误的。必须看导数（或局部斜率）的渐近行为。本题中 $\sin (1/x)\sim 1/x$ 在大 $x$ 处的衰减恰好抵消 $x^2$ 增长，使整体表现为线性。

第 5 题：$\sin (x)/x$（含 $f(0)=1$）在 $\mathbb{R}$ 上 ✅ 一致连续

证明：

连续性：$f$ 在 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 上由复合连续；$x\to 0$ 时 $\sin x/x\to 1=f(0)$（经典极限），故 $f$ 在 $0$ 处也连续。

导数有界：$f^{\prime }(x)=\frac{\cos x\cdot x-\sin x}{x^2}$（$x\ne 0$），可证 $|f^{\prime }(x)|\le 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界（详细估计略），更直接的论证如下。

直接论证：由中值定理 + $|f^{\prime }|\le M$ ⇒ $|f(a)-f(b)|\le M|a-b|$ ⇒ 一致连续。

或者：

• 在任何闭区间 $[-N,N]$ 上 $f$ 连续 ⇒ 由 ANL-THM-015 一致连续。
• 在 $|x|\ge 1$ 上 $|f(x)|\le 1/|x|\le 1$，且 $|f(x)|\to 0$，导数衰减——可验证 $|f^{\prime }(x)|\le 2/|x{|}^2$，全局有界。

合并两段（$[-1,1]$ 与 $|x|\ge 1$ 的”重叠粘合”），整体一致连续。$■$

第 6 题：$\sin (\sqrt{x})$ 在 $[0,+\infty )$ 上 ✅ 一致连续

证明：导数 $f^{\prime }(x)=\frac{\cos (\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$（$x>0$），$|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

注意当 $x\to 0^{+}$，$f^{\prime }(x)\to \infty$——故 $f$ 在 $0$ 附近不Lipschitz。但仍可一致连续。

用 Hölder 估计：$|\sin (\sqrt{a})-\sin (\sqrt{b})|\le |\sqrt{a}-\sqrt{b}|\le \sqrt{|a-b|}$（用 $\sin$ Lipschitz + ​ 的 1/2-Hölder 性质）。

故 $\forall \epsilon >0$ 取 $\delta ={\epsilon }^2$：$|x_1-x_2|<\delta ⟹|f(x_1)-f(x_2)|\le \sqrt{\delta }=\epsilon$。

故 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。$■$

反思：这是一致连续但非 Lipschitz 的典型——导数无界但增长率被 $\sqrt{x}$ 控制。

考察点

• ANL-DEF-024 一致连续定义的正反向使用
• ANL-THM-015 Cantor 定理的”应用”和”不能应用”两种情形
• 边界 case 的精确判定：第 4 题展示”直觉非一致连续”实际上一致连续；第 6 题展示”非 Lipschitz 但一致连续”

备注

判定一致连续的”工具树”：

f 在域 D 上是否一致连续？
├── 是否 Lipschitz（|f'| 全局有界）？
│   └── 是 → ✅ 一致连续
├── D 是否闭区间 + 有界？
│   └── 是 + f 连续 → ✅ Cantor 定理
├── 是否 Hölder 连续（|f(a)-f(b)| ≤ C|a-b|^α，α∈(0,1]）？
│   └── 是 → ✅ 一致连续
├── 找两个数列 xn, yn 使 |xn-yn|→0 但 |f(xn)-f(yn)|↛0？
│   └── 是 → ❌ 非一致连续

核心识别 case：

函数	域	一致连续	主导原因
$\sin x$, $x$, $ax+b$	$\mathbb{R}$	✅	Lipschitz
$x^2$, $\sin (x^2)$, $\cos (x^2)$	$\mathbb{R}$	❌	局部斜率 $\to \infty$
$\sqrt{x}$, $\sin (\sqrt{x})$	$[0,+\infty )$	✅	1/2-Hölder
$1/x$	$(0,1]$	❌	端点不闭，斜率爆炸
任何连续函数	闭有界 $[a,b]$	✅	Cantor 定理