微分

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0\in I$ 可导（ANL-DEF-014）。给自变量增量 $\Delta x$， $f$ 在 $x_0$ 关于 $\Delta x$ 的微分定义为

$$df{|}_{x_0}:=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x.$$

约定 $\Delta x=dx$（即把自变量微元写成 $dx$），上式记作

$$\boxed{dy=f^{\prime }(x_0)dx.}$$

等价刻画：$f$ 在 $x_0$ 可微（即微分存在）当且仅当

$$\Delta y:=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot \Delta x+o(\Delta x),(\Delta x\to 0)$$

其中 $A=f^{\prime }(x_0)$。即”函数增量等于线性主部加高阶无穷小”。

与相近概念的区别

概念	关键差别
函数增量 $\Delta y$	真实增量，等于 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
微分 $dy$	$\Delta y$ 的线性主部，等于 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$
导数 $f^{\prime }(x_0)$ ANL-DEF-014	一个数（变化率）
微分 $dy$	一个量（导数 $\times$ 自变量微元）

一维情形：“可微 $⟺$ 可导”。多元情形则不同，需独立定义。

直觉理解

微分把曲线在 $x_0$ 附近线性化：在显微镜下看 $f$ 的图像，越靠近 $x_0$， 函数越像它的切线 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

$dy$ 就是沿切线走 $\Delta x$ 时纵坐标的变化； 真实 $\Delta y$ 则是沿曲线走的变化。 两者之差 $\Delta y-dy=o(\Delta x)$ 比 $\Delta x$ “更高阶地小”。

几何画面：

  y
  │       曲线 y=f(x)
  │       ╱
  │      ╱  ← Δy（真实增量）
  │     ╱
  │   ┄┄┄┄  ← dy（沿切线，线性主部）
  │  ╱
  │ ╱        切线 y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
  └────────── x
       x₀   x₀+Δx

差额 $\Delta y-dy$ 是图中”曲线与切线之间的小弯月”——它是 $o(\Delta x)$。

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数
• 用于：Taylor 公式（ANL-THM-025）的零阶截断
• 应用例题：ANL-EX-008 用定义求初等函数导数

跨专业应用

• 数值分析：用 $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h$ 做一阶近似计算，误差为 $o(h)$
• 工程：自变量测量误差 $\Delta x$ 经过 $f$ 后近似为 $|\Delta y|\approx |f^{\prime }(x_0)|\cdot |\Delta x|$
• 物理：理想气体 $pV=nRT$，固定 $T$ 时 $V$ 关于 $p$ 的微分给出体积响应