导数

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$I$ 为开区间，$x_0\in I$。若极限

$$f^{\prime }(x_0):=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在（且有限），则称 $f$ 在 $x_0$ 可导，称该极限值为 $f$ 在 $x_0$ 的导数， 记作 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $\frac{df}{dx}{|}_{x=x_0}$。

若 $f$ 在 $I$ 的每一点可导，则得到导函数 $f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$。

ε-δ 等价表述：$f^{\prime }(x_0)=A$ 当且仅当

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:0<|\Delta x|<\delta ⟹\left|\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-A\right|<\epsilon .$$

与相近概念的区别

概念	关键差别
在 $x_0$ 连续 ANL-DEF-012	仅要求 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，不涉及变化率
在 $x_0$ 可导	要求差商极限存在——比连续严格
单侧导数 ANL-DEF-016	把极限改为 $\Delta x\to 0^{+}$ 或 $0^{-}$
微分 ANL-DEF-015	是导数与自变量微元的乘积 $dy=f^{\prime }(x)dx$，结果是一个量，不是过程

直觉理解

导数 $=$ 瞬时变化率 $=$ 函数图像在该点切线的斜率。

差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 是过 $(x_0,f(x_0))$ 与 $(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ 两点割线的斜率。 让 $\Delta x\to 0$，割线”绕 $(x_0,f(x_0))$ 旋转”逼近切线， 切线斜率即 $f^{\prime }(x_0)$。

核心意义：导数把”函数在一点附近的局部行为”压缩成单个数。 若 $f^{\prime }(x_0)>0$，函数在 $x_0$ 附近”上行”；若 $f^{\prime }(x_0)=0$，函数在 $x_0$ 处”局部水平”， 是极值候选点（ANL-THM-020）；若 $f^{\prime }(x_0)<0$，函数”下行”。

量词顺序：先给 $\epsilon$，再找 $\delta$。$\delta$ 依赖于 $\epsilon$（且通常依赖 $x_0$）， 含义是”差商误差可任意小”。

链接

• 前置：ANL-DEF-008 函数极限、ANL-DEF-012 函数连续
• 直接推论：ANL-THM-016 可导 ⇒ 连续
• 计算工具：ANL-THM-017 求导四则运算、ANL-THM-018 链式法则
• 例题：ANL-EX-008

跨专业应用

• 物理：位置 $s(t)$ 对时间的导数 $s^{\prime }(t)$ 是瞬时速度；速度对时间的导数是加速度
• 经济学：成本函数 $C(q)$ 的导数 $C^{\prime }(q)$ 是边际成本（多生产 1 单位的额外成本）
• 工程：测量误差 $\Delta x$ 经函数 $f$ 后近似传播为 $\Delta y\approx f^{\prime }(x_0)\Delta x$