用定义求 $x^n$、$e^x$、$\sin x$ 的导数

题目

用导数定义（ANL-DEF-014）求下列函数在任意 $x\in \mathbb{R}$ 的导数：

1. $f(x)=x^n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）
2. $f(x)=e^x$
3. $f(x)=\sin x$

分析

定义法的核心是计算差商的极限：

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

每题的技巧不同：

• $x^n$：用二项式展开 $(x+h{)}^n$，主项 $x^n$ 抵消，剩余项含 $h$ 的因子
• $e^x$：分离 $e^x$ 因子，归结到 ${\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$（与 $e$ 的极限定义 ANL-DEF-009 直接关联）
• $\sin x$：用和差化积公式 $\sin (x+h)-\sin x=2\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\sin \frac{h}{2}$，归结到 ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$

证明 / 解答

第 1 题：$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

解： 由二项式定理，

$$(x+h{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}h+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{h}^2+\cdots +h^n.$$

故

$$\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)x^{n-2}h+\cdots +h^{n-1}.$$

除第一项外，其余各项均含因子 $h$。当 $h\to 0$，

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}.■$$

第 2 题：$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

解： 由 $e^{x+h}=e^x\cdot e^h$，

$$\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot \frac{e^h-1}{h}.$$

关键极限：$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1$。

快速论证（依赖 ANL-DEF-009 自然常数 $e$ 的极限定义）： 由 $e^h={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{h}{n}\right)}^n$ 出发， 配合 $e={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$， 经初等估计可得 $e^h=1+h+o(h)$（$h\to 0$）。 整理即得上述极限。

故

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot 1=e^x.■$$

第 3 题：$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

解： 用和差化积：

$$\sin (x+h)-\sin x=2\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\sin \frac{h}{2}.$$

故

$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{\sin (h/2)}{h/2}.$$

由经典极限 $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$ 与 $\cos$ 的连续性：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)=\cos x,\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h/2)}{h/2}=1.$$

由 ANL-THM-009 极限的乘积法则，

$$f^{\prime }(x)=\cos x\cdot 1=\cos x.■$$

关键技巧

• 二项式展开 + 主项抵消：求 $x^n$ 时通用模板，可推广到任意多项式
• 乘性分解：$e^{x+h}=e^x{e}^h$ 把 $x$ 与 $h$ 分离，归结到 $h\to 0$ 的”局部”极限
• 和差化积：处理三角函数的”差”必备工具，与 $\sin /\tan /\cot$ 求导通用
• 归结到经典极限：$\frac{e^h-1}{h}\to 1$ 与 $\frac{\sin h}{h}\to 1$ 是初等函数求导的两个核心”原子极限”

变式

• 变式 1：用定义证明 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。提示：用 $\cos (x+h)-\cos x=-2\sin (x+h/2)\sin (h/2)$
• 变式 2：用定义证明 $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$（$a>0,a\ne 1$）。提示：$a^x=e^{x\ln a}$ + 链式法则； 或直接 $\frac{a^h-1}{h}\to \ln a$
• 变式 3：将第 1 题推广至有理指数 $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$（$x>0$, $\alpha \in \mathbb{Q}$）。 提示：$\alpha =p/q$ 时设 $y=x^{1/q}$ 用反函数求导
• 变式 4：求 $f(x)=x|x|$ 在 $x_0=0$ 的导数。提示：用单侧导数 ANL-DEF-016，验证左右一致

链接

• 演示定义：ANL-DEF-014
• 配合定理：ANL-THM-017 求导四则、ANL-THM-018 链式法则
• 后续例题：链式法则典型应用（待建）