凸函数与凹函数

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$I\subseteq \mathbb{R}$ 为区间。

$f$ 在 $I$ 上凸（convex）：若对一切 $x_1,x_2\in I$ 与一切 $\lambda \in [0,1]$，

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2).$$

严格凸：上式对 $x_1\ne x_2$ 与 $\lambda \in (0,1)$ 取严格不等号。

凹（concave）：把 $\le$ 反向为 $\ge$（即 $-f$ 是凸的）。

严格凹：对应严格情形。

中文教材约定（华师大第5版，本知识库遵循）： “凸函数” = 图像位于任意弦的下方（开口向上） $⟺$ 二阶导数 $\ge 0$。 这与国际惯例一致（西方文献的 convex / 中文 “凸”），不要被旧教材中相反约定混淆。

等价刻画（一阶 / 二阶导数）

设 $f$ 在 $I$ 内有所需阶可导。下列三命题等价：

1. $f$ 在 $I$ 上凸；
2. $f^{\prime }$ 在 $I$ 上单调递增；
3. $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 对所有 $x\in I$ 成立。

充分条件加强版：$f^{\prime \prime }(x)>0$ 在 $I$ 上 $\Rightarrow$ $f$ 严格凸（不可逆：$f(x)=x^4$ 严格凸但 $f^{\prime \prime }(0)=0$）。

凹函数对偶：$f^{\prime }\searrow$ $⟺$ $f^{\prime \prime }\le 0$。

与相近概念的区别

概念	关键差别
凸函数	图像位于弦的下方（开口向上）
凹函数	图像位于弦的上方（开口向下）
增函数	与凹凸无关：$x^2$ 在 ${\mathbb{R}}^{+}$ 既增又凸；$\ln x$ 在 ${\mathbb{R}}^{+}$ 既增又凹
凸集	集合 $S$ 若 $\forall x,y\in S,\lambda \in [0,1]:\lambda x+(1-\lambda )y\in S$，则 $S$ 凸——是凸函数概念的”几何对应”

直觉理解

凸函数图像就像”一只碗”：随便取曲线上两点连线，整段弦都在曲线上方。 凹函数图像像”倒扣的碗”：弦在曲线下方。

几何画面（凸函数）：

      x_2
      │   ╱  弦（在曲线上方）
      │  ╱
      │ ╱
      │╱
  x_1 ●╲╲╲╲ 曲线（碗形）
          ╲
           ●_x_2

$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 的代数含义：”$f^{\prime }$ 在递增”——切线斜率从左到右越来越大， 形成”开口向上”的图像。这与”碗”的几何完全一致。

链接

• 前置：ANL-DEF-012 函数连续、ANL-DEF-017 高阶导数
• 直接关联：ANL-DEF-020 拐点（凸 / 凹切换处）
• 关键不等式：Jensen 不等式（凸函数 + 概率论）
• 应用例题：（待建）凹凸性与不等式综合

跨专业应用

• 优化理论：凸函数的局部极小等于全局极小，且严格凸时全局极小唯一。 这是凸优化理论的基石——使梯度下降等局部算法有全局保证
• 概率论 Jensen 不等式：$\phi$ 凸 $\Rightarrow$ $E[\phi (X)]\ge \phi (E[X])$。 应用：方差 $\ge 0$、AM ≥ GM、Cauchy–Schwarz 等都可由此推出
• 经济学：风险厌恶者的效用函数为凹函数（边际效用递减）；保险、投资组合理论的基础
• 信息论：Shannon 熵 $H(p)=-\sum p_i\ln p_i$ 是 $p$ 的凹函数 ⇒ 均匀分布熵最大