函数连续

定义陈述

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域（含 $x_0$）内有定义。

$f$ 在 $x_0$ 连续，若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，等价地：

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x:|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$$

$f$ 在区间 $I$ 上连续，若 $f$ 在 $I$ 的每一点都连续。

与相近概念的区别

概念	关键差别
极限存在 ANL-DEF-008	不要求 $f(x_0)$ 有定义，也不要求等于 $L$
在 $x_0$ 连续	$f(x_0)$ 有定义且等于极限值
一致连续 ANL-DEF-024	$\delta$ 对区间所有点共用

直觉理解

连续 = ”$f(x_0)$ 等于极限值”。 图像上看：函数图在 $x_0$ 处不”跳跃”、不”破洞”、不”无定义”。 注意此处条件已是 $|x-x_0|<\delta$（不再是 $0<|x-x_0|$）——$x=x_0$ 这一点 也参与论证，而 $|f(x_0)-f(x_0)|=0<\epsilon$ 自动成立，故等价。

常见错误

• ✗ 把”$f$ 在 $[a,b]$ 上连续”理解为”$\delta$ 只依赖 $\epsilon$”。 这其实是更强的一致连续条件 ANL-DEF-024，在闭区间上两者等价（Cantor 定理）， 但在开区间或无界区间上可分离——典型反例 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续但非一致连续。

链接

• 前置：ANL-DEF-008 函数极限的 ε-δ 定义
• 升级版本：ANL-DEF-024 一致连续