高阶导数

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $I$ 上可导（ANL-DEF-014），导函数 $f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$。 若 $f^{\prime }$ 在 $x_0\in I$ 处可导，称 $f$ 在 $x_0$ 二阶可导，并定义

$$f^{\prime \prime }(x_0):=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x_0).$$

递归定义：若 $f^{(n-1)}$ 已定义且在 $x_0$ 可导（$n\ge 2$），则

$$f^{(n)}(x_0):={\left(f^{(n-1)}\right)}^{\prime }(x_0).$$

记号约定：

阶数	记号
0 阶	$f^{(0)}:=f$
1 阶	$f^{(1)}=f^{\prime }$
2 阶	$f^{(2)}=f^{\prime \prime }$
$n$ 阶（$n\ge 4$）	$f^{(n)}$（避免写过多撇号）

也用 Leibniz 记号 $\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$。

两个常用结果

和差法则：若 $f,g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则

$$(f\pm g{)}^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)\pm g^{(n)}(x_0).$$

Leibniz 乘积法则（与二项式定理形式相同）：

$$(fg{)}^{(n)}(x_0)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0).$$

用归纳法 + ANL-THM-017 一阶乘积法则可证。本条目仅声明，详证留至例题或更深入条目。

直觉理解

一阶导描述变化率； 二阶导描述”变化率本身的变化率”——即图像的弯曲方式：

• $f^{\prime \prime }(x_0)>0$：图像在 $x_0$ 附近”开口向上”（凹），切线斜率正在增大
• $f^{\prime \prime }(x_0)<0$：图像”开口向下”（凸），切线斜率正在减小
• $f^{\prime \prime }(x_0)=0$：可能是拐点（ANL-DEF-020）

物理图像更直接：

阶数	物理意义
$s(t)$	位置
$s^{\prime }(t)$	速度
$s^{\prime \prime }(t)$	加速度
$s^{\prime \prime \prime }(t)$	冲击度（jerk）——加速度的变化率

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数
• 用于：Taylor 公式 ANL-THM-025、凹凸判定 ANL-DEF-019
• 计算工具：和差/乘积/链式法则的高阶版本

跨专业应用

• 物理：Newton 第二定律 $F=ma=m\cdot s^{\prime \prime }(t)$ 的左边即位置二阶导
• 数值分析：Taylor 余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$ 由高阶导控制
• 机器人学：路径平滑性常要求加速度（甚至 jerk）连续——即位置函数三阶可导