积分不等式：Cauchy–Schwarz、Hölder 与 Minkowski

题目

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续（故可积，ANL-DEF-026）。

1. Cauchy–Schwarz 积分不等式：证明

   $${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le \left({\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx\right)\left({\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx\right),$$

   并指出等号成立的充要条件。

2. Young 不等式：设 $p,q>1$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。证明对任意 $A,B\ge 0$，

   $$AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}.$$

3. Hölder 积分不等式：用第 2 题证明

   $${\int }_a^b|f(x)g(x)|dx\le {\left({\int }_a^b|f(x){|}^{p}dx\right)}^{1/p}{\left({\int }_a^b|g(x){|}^{q}dx\right)}^{1/q}.$$

   （$p=q=2$ 即第 1 题的绝对值形式。）

4. Minkowski 积分不等式：由 Hölder 推出，对 $p\ge 1$，

   $${\left({\int }_a^b|f+g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}\le {\left({\int }_a^b|f{|}^{p}dx\right)}^{1/p}+{\left({\int }_a^b|g{|}^{p}dx\right)}^{1/p}.$$

提示

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• 第 1 题（判别式法）：对任意 $t\in \mathbb{R}$，${\int }_a^b(f+tg{)}^{2}dx\ge 0$。展开成关于 $t$ 的二次三项式 $A{t}^2+2Bt+C$，由非负得判别式 $\le 0$。用到积分的线性性与非负性（ANL-THM-029）。
• 第 2 题：固定 $B$，对 $\phi (A)=\frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}-AB$ 求极小；或用 $\ln$ 的凹性（ANL-PROB-014 思路）。
• 第 3 题：先归一化。设 $\Vert f{\Vert }_p:=(\int |f{|}^p{)}^{1/p}>0,\Vert g{\Vert }_q>0$，令 $A=\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p},B=\frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}$ 代入 Young 后两边积分。
• 第 4 题：$|f+g{|}^p=|f+g|\cdot |f+g{|}^{p-1}\le (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}$，对两项分别用 Hölder（注意 $(p-1)q=p$）。

解答

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第 1 题：Cauchy–Schwarz

记 $A={\int }_a^b{f}^2,B={\int }_a^{b}fg,C={\int }_a^b{g}^2$。对任意 $t\in \mathbb{R}$，被积函数 $(f+tg{)}^2\ge 0$，由积分的单调性/非负性（ANL-THM-029）：

$$0\le {\int }_a^b(f+tg{)}^{2}dx=t^2{\int }_a^b{g}^2+2t{\int }_a^{b}fg+{\int }_a^b{f}^2=C{t}^2+2Bt+A,$$

这里用了线性性（ANL-THM-029）展开。

情形 $C=0$：$g^2$ 连续非负且积分为 $0$ $\Rightarrow$ $g\equiv 0$，则 $B=0$，不等式两边均为 $0$，成立。

情形 $C>0$：上式是关于 $t$ 的、首项系数为正的二次三项式，恒 $\ge 0$，故判别式

$$(2B{)}^2-4CA\le 0⟹B^2\le AC,$$

即 ${\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2\le \left({\int }_a^b{f}^2\right)\left({\int }_a^b{g}^2\right)$。$■$

等号条件：$B^2=AC$ $⟺$ 判别式 $=0$ $⟺$ 存在 $t_0$ 使 ${\int }_a^b(f+t_{0}g{)}^2=0$ $⟺$（连续函数）$f+t_{0}g\equiv 0$，即 $f,g$ 线性相关（或 $g\equiv 0$）。

第 2 题：Young 不等式

$A=0$ 或 $B=0$ 时显然。设 $A,B>0$。由 $\ln$ 在 $(0,\infty )$ 上严格凹（$(\ln {)}^{\prime \prime }=-1/x^2<0$），对权重 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$：

$$\ln \left(\frac{1}{p}{A}^p+\frac{1}{q}{B}^q\right)\ge \frac{1}{p}\ln (A^p)+\frac{1}{q}\ln (B^q)=\ln A+\ln B=\ln (AB).$$

$\ln$ 单调增，故 $\frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}\ge AB$。$■$

等号 $⟺A^p=B^q$。此处凹性论证与 ANL-PROB-014 的 Jensen 框架同源。

第 3 题：Hölder

记 $\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_a^b|f{|}^p\right)}^{1/p},\Vert g{\Vert }_q={\left({\int }_a^b|g{|}^q\right)}^{1/q}$。

退化情形：若 $\Vert f{\Vert }_p=0$，则 $|f{|}^p$ 连续非负且积分为 $0$ $\Rightarrow f\equiv 0$，左边 $=0$，成立；$\Vert g{\Vert }_q=0$ 同理。

主情形 $\Vert f{\Vert }_p,\Vert g{\Vert }_q>0$：对每个 $x$，取 $A=\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p},B=\frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}$，由 Young（第 2 题）：

$$\frac{|f(x)g(x)|}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q}\le \frac{1}{p}\frac{|f(x){|}^p}{\Vert f{\Vert }_p^p}+\frac{1}{q}\frac{|g(x){|}^q}{\Vert g{\Vert }_q^q}.$$

两边在 $[a,b]$ 上积分，用线性性（ANL-THM-029）：

$$\frac{{\int }_a^b|fg|}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q}\le \frac{1}{p}\cdot \frac{\Vert f{\Vert }_p^p}{\Vert f{\Vert }_p^p}+\frac{1}{q}\cdot \frac{\Vert g{\Vert }_q^q}{\Vert g{\Vert }_q^q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$

即 ${\int }_a^b|fg|\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$。$■$

第 4 题：Minkowski

$p=1$ 时由 $|f+g|\le |f|+|g|$ 与单调性直接得证。设 $p>1$，取 $q=\frac{p}{p-1}$（则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 且 $(p-1)q=p$）。

若 $\int |f+g{|}^p=0$ 则平凡。否则：

$${\int }_a^b|f+g{|}^p={\int }_a^b|f+g||f+g{|}^{p-1}\le {\int }_a^b|f||f+g{|}^{p-1}+{\int }_a^b|g||f+g{|}^{p-1}.$$

对右边两项各用 Hölder（指数 $p,q$），并注意 $(|f+g{|}^{p-1}{)}^q=|f+g{|}^p$：

$${\int }_a^b|f||f+g{|}^{p-1}\le \Vert f{\Vert }_p{\left({\int }_a^b|f+g{|}^p\right)}^{1/q},$$

$g$ 项同理。相加：

$${\int }_a^b|f+g{|}^p\le (\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p){\left({\int }_a^b|f+g{|}^p\right)}^{1/q}.$$

两边除以 ${\left(\int |f+g{|}^p\right)}^{1/q}$（正），并用 $1-\frac{1}{q}=\frac{1}{p}$：

$${\left({\int }_a^b|f+g{|}^p\right)}^{1/p}\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.■$$

考察点

• ANL-THM-029 积分线性性与单调性（非负性）——所有积分不等式的两块基石
• 判别式法（二次型非负 ⇒ 判别式 $\le 0$）证 Cauchy–Schwarz
• 凹性 / Young 不等式作为 Hölder 的逐点引擎
• 归一化技巧（除以范数）将逐点估计提升为积分估计
• “连续非负且积分为零 ⇒ 恒为零”在等号 / 退化情形中的反复使用

备注

三大不等式的逻辑链：

$$\text{凹性/Young}\Rightarrow \text{Ho¨lder}\Rightarrow \text{Minkowski},\text{Cauchy–Schwarz}=\text{Ho¨lder}{|}_{p=q=2}.$$

与离散版的对偶：把积分换成有限和、把连续函数换成向量，立刻得到向量内积的 Cauchy–Schwarz、${\ell }^p$ 序列的 Hölder/Minkowski。Minkowski 不等式正是 $L^p[a,b]$ 与 ${\ell }^p$ 成为赋范空间（三角不等式）的根据，是泛函分析的入口。

应用：

• 概率论：$|\mathbb{E}[XY]|\le \sqrt{\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]}$（相关系数 $|\rho |\le 1$）。
• 信号处理：能量有限信号空间 $L^2$ 的内积结构（ANL-THM-030 配合可得均值估计）。