积分基本性质：线性性、区间可加性、单调性

条件

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。

结论

性质 1：线性性

对任意常数 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，$\alpha f+\beta g$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g.$$

性质 2：区间可加性

对任意 $c\in [a,b]$，$f$ 在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上分别可积，且

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f.$$

（记号扩展：对任意三点 $a,b,c$，无须 $a<c<b$，公式形式上仍成立——用 ${\int }_b^a:=-{\int }_a^b$ 约定）

性质 3：单调性

若 $f(x)\le g(x)$ 对几乎所有 $x\in [a,b]$ 成立（特别地，在所有 $x$ 处），则

$${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g.$$

性质 4：绝对可积与三角不等式

$|f|$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

$$\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|.$$

性质 5：积分均值在 $[m,M]$ 内

设 $m\le f(x)\le M$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立。则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a).$$

几何/直觉理解

这些性质都是 Riemann 和的对应性质在极限下的体现：

• 线性性：$\sum (\alpha f+\beta g)({\xi }_i)\Delta x_i=\alpha \sum f({\xi }_i)\Delta x_i+\beta \sum g({\xi }_i)\Delta x_i$，取极限即得
• 区间可加性：在 $c$ 处插入分割点不改变 Riemann 和； 把 $[a,b]$ 切成 $[a,c]$ + $[c,b]$ 两段独立处理
• 单调性：逐点 $f\le g$ ⇒ $\sum f({\xi }_i)\Delta x_i\le \sum g({\xi }_i)\Delta x_i$
• 三角不等式：$|\sum f({\xi }_i)\Delta x_i|\le \sum |f({\xi }_i)|\Delta x_i$

证明

仅证最重要的两条；其余类似。

证明（线性性，仅 $\int (\alpha f)=\alpha \int f$）

证明： 任取分割 $P$ 与标记 $\mathbf{\xi }$。

$$S(\alpha f,P,\mathbf{\xi })=\sum (\alpha f)({\xi }_i)\Delta x_i=\alpha \sum f({\xi }_i)\Delta x_i=\alpha \cdot S(f,P,\mathbf{\xi }).$$

当 $\Vert P\Vert \to 0$，$S(f,P,\mathbf{\xi })\to {\int }_a^{b}f$（ANL-DEF-026）。 故 $S(\alpha f,P,\mathbf{\xi })\to \alpha {\int }_a^{b}f$，即 $\alpha f$ 可积且 $\int (\alpha f)=\alpha \int f$。$■$

类似地，$f+g$ 可积且 $\int (f+g)=\int f+\int g$（用 Riemann 和的可加性 + 极限的可加性 ANL-THM-009）。

证明（绝对可积 $|f|$ 可积 + 三角不等式）

证明（$|f|$ 可积）：用 ANL-THM-026 Darboux 准则。关键不等式：对任 $x,y$,

$$||f(x)|-|f(y)||\le |f(x)-f(y)|(\text{反三角不等式}).$$

故在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上：

$${\omega }_i(|f|)=\sup |f(x)|-\inf |f(x)|\le \underset{x,y}{\sup }||f(x)|-|f(y)||\le \underset{x,y}{\sup }|f(x)-f(y)|={\omega }_i(f).$$

由 $f$ 可积 + Darboux 准则，$\sum {\omega }_i(f)\Delta x_i$ 可任意小；故 $\sum {\omega }_i(|f|)\Delta x_i$ 也可任意小。 故 $|f|$ 可积。

证明（三角不等式）：由 $-|f|\le f\le |f|$ 与单调性（性质 3）：

$$-{\int }_a^b|f|\le {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^b|f|,$$

即 $|\int f|\le \int |f|$。$■$

常见错误

• ✗ 误以为”$f,g$ 都可积 ⇒ $f\cdot g$ 可积”是平凡的。 事实上 $f\cdot g$ 可积（用 Darboux 准则 + ${\omega }_i(fg)\le M({\omega }_i(f)+{\omega }_i(g))$ 估计）， 但不要试图给出像线性性那样简单的”积分公式”—— $\int fg\ne (\int f)(\int g)$ 一般成立！
• ✗ 把单调性反向应用："$\int f\le \int g\Rightarrow f\le g$"。 反例：$f(x)=\sin (2\pi x)$, $g(x)=0$ 在 $[0,1]$ 上 $\int f=0=\int g$，但 $f\ne g$。 积分仅刻画”整体平均”，不能反推逐点关系。
• ✗ 三角不等式误用方向："$\int |f|\le |\int f|$"。 正确方向是 $|\int f|\le \int |f|$（“先取绝对值再积分至少 = 先积分再取绝对值”）。 反例：$f$ 一半正一半负完全抵消时 $\int f=0$ 但 $\int |f|>0$。

推论与应用

• 推论 1：可积函数的有限线性组合仍可积（线性性归纳）
• 推论 2：$|f-g|$ 可积，故”距离”${\int }_a^b|f-g|dx$ 良定义——这是 $L^1$ 范数的基础
• 应用：积分中值定理（ANL-THM-030）的证明用性质 5 的 $m,M$ 夹逼

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 应用：ANL-THM-030 积分中值定理（用性质 5）
• 进阶：积分作为线性泛函——是泛函分析的入门视角