积分中值定理

条件与结论

形式 1（连续函数版 / 第一积分中值定理）

条件：$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续（ANL-DEF-012）。

结论：存在 $\xi \in [a,b]$ 使

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )\cdot (b-a).$$

等价说法：函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的”积分平均值” $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$ 等于 $f$ 在某点 $\xi$ 处的取值。

形式 2（带权版 / 推广形式）

条件：$f$ 连续，$g$ 在 $[a,b]$ 上可积且保号（如 $g(x)\ge 0$ 处处成立）。

结论：存在 $\xi \in [a,b]$ 使

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx.$$

形式 1 是 $g\equiv 1$ 的特例。 几何上 $g$ 是”权函数”，给出”加权平均”$f(\xi )=\frac{\int fg}{\int g}$。

几何/直觉理解

中值定理告诉你：连续函数的”平均”必由函数在某点的”实际值”实现—— 这是连续性 + ANL-THM-013 介值定理的积分版本。

几何画面：${\int }_a^{b}f$ 等于”曲线下方面积”。设这个面积为 $S$， 则 $S=f(\xi )(b-a)$ 表示——存在某矩形高度 $f(\xi )$，使矩形面积恰好等于曲线下方面积。 由介值定理，连续函数确实能取到这个高度。

这与 ANL-THM-022 Lagrange 中值定理（“必有切线斜率 = 割线斜率”）形式平行—— 都是”必有某点函数值实现某种’平均’“。

证明

证明（形式 1）

证明： 由 $f$ 连续 + 闭区间 + ANL-THM-014 最值定理，$f$ 取得最大 $M$ 与最小 $m$。 即 $m\le f(x)\le M$ 对所有 $x\in [a,b]$。

由 ANL-THM-029 性质 5（积分均值在 $[m,M]$ 内）：

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a).$$

记 $A:=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$，则 $m\le A\le M$。

由 ANL-THM-013 介值定理（$f$ 连续 + $A$ 在最值之间），$\exists \xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi )=A$，即

$$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f⟺{\int }_a^{b}f=f(\xi )(b-a).■$$

证明（形式 2）

证明： 不妨 ${\int }_a^{b}g>0$（若 $=0$，由 $g\ge 0$ 连续可积 + 平凡论证，结论平凡）。

由 $f$ 连续 + 最值 $m\le f\le M$，结合 $g\ge 0$：

$$m\cdot g(x)\le f(x)g(x)\le M\cdot g(x).$$

由 ANL-THM-029 单调性：

$$m{\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}fg\le M{\int }_a^{b}g.$$

记 $A:=\frac{{\int }_a^{b}fg}{{\int }_a^{b}g}$，则 $m\le A\le M$。 由 ANL-THM-013 介值定理，$\exists \xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi )=A$。$■$

常见错误

• ✗ 把 $\xi$ 当作具体值（如 $\xi =(a+b)/2$）。 $\xi$ 是定理保证的存在点，具体位置依赖 $f$，不可指定。 反例：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上，$\int f=1/3$，故 $f(\xi )=1/3$，$\xi =1/\sqrt{3}\ne 0.5$。
• ✗ 漏掉”$f$ 连续”前提。 反例：$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1/2\\ 1,& x\ge 1/2\end{array}$ 在 $[0,1]$ 上可积， $\int f=1/2$，故”应有” $f(\xi )=1/2$——但 $f$ 取值仅 $0$ 或 $1$，不取到 $1/2$。 本质：缺连续性 ⇒ 介值定理失效。
• ✗ 形式 2 漏掉”$g$ 保号”条件。 反例：$f(x)=1,g(x)=\sin (2\pi x)$ 在 $[0,1]$ 上。 $\int g=0$，"$f(\xi )=\int fg/\int g$" 分母为零，公式无意义。
• ✗ 把"$\xi \in [a,b]$"误读为"$\xi \in (a,b)$"（开区间）。 本定理保证 $\xi$ 可以取到端点——这与 ANL-THM-022 Lagrange（开区间）不同。 形式 1 严格来说，对常数函数 $f\equiv c$，任何 $\xi \in [a,b]$ 都是中值点。

推论与应用

• 直接应用：积分平均与函数取值的精确联系
• 进阶（第二积分中值定理）：$f$ 单调，$g$ 可积，则 $\exists \xi \in [a,b]$ 使 ${\int }_a^{b}fg=f(a){\int }_a^{\xi }g+f(b){\int }_{\xi }^{b}g$（教材 §9.5，本知识库不展开）
• 微积分基本定理：ANL-THM-031 变限积分可微的证明使用本定理（连续版）
• 物理应用：温度场 $T(x)$ 在区间上的”代表温度”$T(\xi )$ 等于其积分平均

链接

• 前置：ANL-DEF-012 函数连续、ANL-DEF-026 Riemann 可积、ANL-THM-013 介值定理、ANL-THM-014 最值定理、ANL-THM-027 连续可积、ANL-THM-029 积分基本性质
• 关联：ANL-THM-022 Lagrange 中值定理（导数版本，结构平行）
• 用于：ANL-THM-031 变限积分函数可微性证明

跨专业应用

• 概率论：$E[g(X)]=\int g(x)p(x)dx$，本定理给出”存在某 $x_0$ 使 $g(x_0)=E[g(X)]$”
• 物理：连续介质中”等效温度”、“质心”等以积分定义的物理量都来自中值思想