Riemann 可积与定积分

定义陈述（Riemann 极限形式）

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 有界。若存在实数 $I$，对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对 $[a,b]$ 的任意分割 $P$（ANL-DEF-022）满足 $\Vert P\Vert <\delta$ 与任意标记 $\mathbf{\xi }$，

$$|S(f,P,\mathbf{\xi })-I|<\epsilon$$

（其中 $S(f,P,\mathbf{\xi })$ 是 ANL-DEF-023 Riemann 和），则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。 此时 $I$ 称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作

$${\int }_a^{b}f(x)dx\text{或简记}{\int }_a^{b}f.$$

记号约定：

$${\int }_a^{a}f:=0,{\int }_b^{a}f:=-{\int }_a^{b}f.$$

Darboux 等价定义

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 $⟺$

$$\underline{{\int }_a^b}f=\overline{{\int }_a^b}f,$$

即 ANL-DEF-025 上积分与下积分相等。

此时 ${\int }_a^{b}f=\underline{{\int }_a^b}f=\overline{{\int }_a^b}f=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }U(f,P)=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }L(f,P)$。

等价证明属 Riemann–Darboux 定理，详见教材 §9.2 或 ANL-THM-026（M2 Batch 6 待建）。

与相近概念的区别

概念	关键差别
Riemann 可积	$\Vert P\Vert \to 0$ 时所有 Riemann 和有共同极限（标记任意）
上积分 / 下积分	上 / 下和的 $\inf$ / $\sup$ — 单独存在但未必相等
不定积分（原函数）	$\int fdx=F(x)+C$，关心反求导（ANL-DEF-028 待建）
定积分	一个数，等于上下积分相等时的共同值
Lebesgue 可积	更广义的可积概念，处理更多函数（如 Dirichlet 函数）

直觉理解

Riemann 可积 = “任凭怎么切、怎么取标记，矩形面积之和最终都收敛到同一个数”。

“切” = 选分割 $P$（只要 $\Vert P\Vert$ 越来越小）； “取标记” = 选 ${\xi }_i$（左、右、中点、随机都行）； “同一个数” = 不论选择，极限唯一存在。

这是**真正”鲁棒”**的可积概念——若不同切法给出不同极限，就说明这函数太”狂野”， 不该谈”曲线下方面积”。

Dirichlet 函数反例： $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$ 取有理标记 $\Rightarrow$ Riemann 和恒为 $b-a$；取无理标记 $\Rightarrow$ Riemann 和恒为 $0$。 极限不一致，故 $f$ 在任何 $[a,b]$ 上不Riemann 可积。 （但它 Lebesgue 可积，积分 $=0$——这是 Lebesgue 比 Riemann 强的著名例子。）

等价的 Cauchy 收敛条件

$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 $⟺$ 对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使对任意两分割 $P_1,P_2$（$\Vert P_1\Vert ,\Vert P_2\Vert <\delta$）与对应标记，

$$|S(f,P_1,{\mathbf{\xi }}_1)-S(f,P_2,{\mathbf{\xi }}_2)|<\epsilon .$$

即 Riemann 和”自身的 Cauchy 性”。这与函数极限的 Cauchy 准则平行（ANL-THM-007 数列版的推广）。

一些可积条件（先列结论，证明在后续条目）

下列函数在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积：

• 连续函数（ANL-THM-027 待建）
• 单调函数（ANL-THM-028 待建）
• 仅在有限个点不连续的有界函数
• 更一般地：几乎处处连续的有界函数（Lebesgue 准则，进阶内容）

链接

• 前置：ANL-DEF-022 分割、ANL-DEF-023 Riemann 和、ANL-DEF-025 Darboux 上下和
• 充要条件：ANL-THM-026 Darboux 准则（M2 Batch 6 待建）
• 充分条件：ANL-THM-027 连续 ⇒ 可积、ANL-THM-028 单调 ⇒ 可积（M2 Batch 6 待建）
• 计算工具：ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式（M2 Batch 7 待建）

跨专业应用

• 物理：功 $W=\int F(x)dx$、电荷 $Q=\int I(t)dt$、动能 $\int vdp$ 等”累加效应”全部为定积分
• 几何：曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上方与 $x$ 轴所夹面积 $S={\int }_a^{b}f(x)dx$（$f\ge 0$）
• 概率论：连续随机变量 $X$ 落入区间 $[a,b]$ 的概率 $P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}p(x)dx$
• 信号处理：信号 $f(t)$ 在 $[a,b]$ 上的能量 $E={\int }_a^b|f(t){|}^{2}dt$；Fourier 变换基础