调和级数发散与 p-级数敛散（积分判别法应用）

题目

讨论 $p$-级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$（$p\in \mathbb{R}$）的敛散性，并特别说明 $p=1$（调和级数）的情形。作为推广，再判定 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$。

分析

$p$-级数是衡量”多项式衰减速度”的标准标尺：几乎所有比较判别法（ANL-THM-038）都拿它当参照。但比值/根值判别法对它一律给出极限 $1$（失效），故必须用积分判别法（ANL-THM-041）——把离散求和换成可求原函数的连续积分。关键前提：$f(x)=1/x^p$ 在 $p>0$ 时非负且单调递减，满足积分判别法条件。

证明 / 解答

解：

情形 $p\le 0$： 通项 $\frac{1}{n^p}=n^{-p}\nrightarrow 0$（$p<0$ 时趋于 $\infty$，$p=0$ 时恒为 $1$）。由收敛必要条件（ANL-THM-036），级数发散。

情形 $p>0$： 取 $f(x)=\frac{1}{x^p}$，在 $[1,\infty )$ 上非负、连续、单调递减，且 $f(n)=\frac{1}{n^p}$。由积分判别法（ANL-THM-041），级数与 ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$ 同敛散。

计算反常积分：

• $p\ne 1$： $${\int }_1^A{x}^{-p}dx={\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]}_1^A=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.$$ 当 $A\to \infty$：$p>1$ 时 $A^{1-p}\to 0$，积分收敛于 $\frac{1}{p-1}$；$0<p<1$ 时 $A^{1-p}\to \infty$，积分发散。
• $p=1$（调和级数）： $${\int }_1^A\frac{dx}{x}=\ln A\to +\infty ,$$ 积分发散。

结论：

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{ 收敛}⟺p>1.}$$

特别地，调和级数 $\sum \frac{1}{n}$（$p=1$）发散——尽管其通项趋于零。$■$

推广（对数 $p$-级数）： 对 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$，取 $f(x)=\frac{1}{x(\ln x{)}^p}$（$x\ge 2$ 非负递减）。令 $u=\ln x$，$du=dx/x$：

$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{\infty }\frac{du}{u^p},$$

归化为 $p$-级数同型积分。故 $\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ 收敛 $⟺p>1$。$■$

关键技巧

• 积分判别法对付 $q=1$ 临界：比值/根值判别法对 $p$-级数全部失效（极限均为 $1$），积分判别法是判定多项式衰减级数的”标准答案”。
• 换元降阶：对数 $p$-级数通过 $u=\ln x$ 化归为普通 $p$-级数，这一”取对数变量”技巧可层层嵌套（$\sum \frac{1}{n\ln n(\ln \ln n{)}^p}$ 同理）。
• 临界值记忆：$p$-级数、对数 $p$-级数的分界点都是 $p=1$，且临界 $p=1$ 处恰好发散。

变式

• 变式 1：判定 $\sum \frac{1}{n^p(\ln n{)}^q}$ 的敛散（按 $p$ 与 $1$ 的大小分类，$p=1$ 时再看 $q$）。
• 变式 2：用比较判别法（ANL-THM-038）而非积分判别法证明 $\sum 1/n^2$ 收敛（提示：$\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，裂项）。
• 变式 3：估计调和级数部分和 $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ 的增长阶，证明 $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$。