正项级数的比较判别法

条件

设 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 均为正项级数（$a_n\ge 0,b_n\ge 0$），且从某项 $N_0$ 起满足

$$0\le a_n\le b_n(n\ge N_0).$$

结论

1. （基本形） 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛； 等价地（逆否），若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散。

2. （极限形） 若 $a_n,b_n>0$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\ell$，则

   • $0<\ell <+\infty$：$\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散；
   • $\ell =0$：$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛；
   • $\ell =+\infty$：$\sum b_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 发散。

几何/直觉理解

正项级数的部分和 $\{S_n\}$ 是单调递增的（每加一个非负项只增不减），因此由单调有界定理（ANL-THM-006）：正项级数收敛 $⟺$ 部分和有上界。这把收敛判定简化为”是否有界”的问题。

比较判别法就是”大的收敛，小的更收敛；小的发散，大的更发散”：

• 若被一个收敛级数 $\sum b_n$ 从上方控制，则 $\sum a_n$ 的部分和也被压在有限范围内，故收敛；
• 若它从上方控制一个发散级数，则自己的部分和也被顶到无穷，故发散。

极限形是基本形的实用升级：只要 $a_n$ 与 $b_n$ 同阶无穷小（$a_n/b_n\to \ell \in (0,\infty )$），二者敛散一致。这使我们能拿待判级数与标准级数（几何级数、$p$-级数）比”阶数”，而不必死磕逐项不等式。

证明

第 1 部分（基本形）。 不妨设 $a_n\le b_n$ 对一切 $n\ge 1$ 成立（改变有限项不影响敛散）。记部分和 $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k,B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$，二者均单调递增。由 $a_n\le b_n$ 得 $A_n\le B_n$。

设 $\sum b_n$ 收敛，则 $\{B_n\}$ 收敛，故有上界 $M$：$B_n\le M$。于是 $A_n\le B_n\le M$，即 $\{A_n\}$ 单调递增且有上界。由单调有界定理（ANL-THM-006），$\{A_n\}$ 收敛，即 $\sum a_n$ 收敛。

逆否命题（$\sum a_n$ 发散 $\Rightarrow \sum b_n$ 发散）由上述等价转述即得。$■$

第 2 部分（极限形）。 设 $a_n,b_n>0$，$\frac{a_n}{b_n}\to \ell$。

$0<\ell <+\infty$： 取 $\epsilon =\frac{\ell }{2}>0$，存在 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $\left|\frac{a_n}{b_n}-\ell \right|<\frac{\ell }{2}$，即

$$\frac{\ell }{2}{b}_n<a_n<\frac{3\ell }{2}{b}_n(n\ge N).$$

由右不等式与第 1 部分：$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum a_n$ 收敛；由左不等式：$\sum a_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum b_n$ 收敛。故同敛散。

$\ell =0$： 取 $\epsilon =1$，存在 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $a_n<b_n$。由第 1 部分，$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum a_n$ 收敛。

$\ell =+\infty$： 则 $\frac{b_n}{a_n}\to 0$，由上一情形（角色互换），$\sum a_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum b_n$ 收敛；逆否即 $\sum b_n$ 发散 $\Rightarrow \sum a_n$ 发散。$■$

常见错误

• ✗ 把判别法用于非正项级数。本判别法仅对正项级数（或同号级数）成立，因核心是”部分和单调”。 反例：$a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}},b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$，$|a_n|\le b_n$ 但 $\sum b_n$ 发散，不能推出 $\sum a_n$ 敛散（实际 $\sum a_n$ 条件收敛，见 ANL-DEF-034）。对一般级数应先取绝对值再比较。
• ✗ 极限形中 $\ell =0$ 却由”$\sum b_n$ 发散”推 $\sum a_n$ 发散。$\ell =0$ 时只有”收敛方向”可用：$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum a_n$ 收敛，反向无效。
• ✗ 只验证有限个 $n$ 的不等式 $a_n\le b_n$ 就下结论。需从某项起恒成立（对一切大 $n$）。
• ✗ 忘记”改变有限项不影响敛散”，纠结前几项不满足不等式。

推论与应用

• 与标准级数比较是判敛散的主力工具：几何级数 $\sum r^n$（$|r|<1$ 收敛）、$p$-级数 $\sum 1/n^p$（$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散）
• 极限形把”逐项不等式”放宽为”同阶估计”，配合等价无穷小极为高效
• 为绝对收敛判定（ANL-DEF-034）提供逐项控制手段

跨专业应用

• 数值分析：用 $p$-级数 / 几何级数作”标尺”估计算法误差级数的敛散
• 概率论：判定离散随机变量矩级数 $\sum n^k{p}_n$ 是否收敛（期望、方差是否存在）