级数收敛的必要条件（通项趋于零）

条件

级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛（ANL-DEF-033）。

则其通项趋于零：
$n \to \infty lim a_{n} = 0.$

等价地（逆否命题，实用形式）：若 $a_{n} \neq \to 0$ （或极限不存在），则 $\sum a_{n}$ 发散。

级数收敛意味着部分和 $S_{n}$ 稳定到总额 $S$ 。当累计金额已经几乎不变时，“每期新付的钱” $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 必然越来越小、趋于零——否则总额还在持续变动，不可能稳定。

这是判定发散的第一道、也是最廉价的”筛子”：先看通项是否趋零，不趋零直接判发散，无须任何复杂判别法。

务必牢记其单向性：通项趋零是收敛的必要条件，绝非充分条件。通过此筛只是”没被立刻否决”，远不能断言收敛。

证明： 设 $\sum a_{n}$ 收敛，部分和数列 ${S_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} S_{n} = S \in R$ （ANL-DEF-033）。

则子列 ${S_{n - 1}}$ 同样收敛于 $S$ 。对 $n \geq 2$ ，由 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ，用数列极限的四则运算（ANL-THM-004）：

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim (S_{n} - S_{n - 1}) = S - S = 0. ■

✗ 把结论当作充分条件：” $a_{n} \to 0 \Rightarrow \sum a_{n}$ 收敛”。 反例（调和级数）： $a_{n} = 1/ n \to 0$ ，但 $\sum 1/ n$ 发散。证明发散：按 $2^{k}$ 分组， $\geq 1/2 \frac{1}{2} + > 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + > 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} + \dots,$ 每组之和 $> 1/2$ ，故 $S_{2^{k}} > 1 + k /2 \to + \infty$ 。
✗ 误以为” $a_{n} \to 0$ 越快越好但不必要”。趋零是硬性必要条件： $\sum (- 1)^{n}$ 通项不趋零，立即发散，无须深究。
✗ 用本定理去”证明收敛”。它只能否决（判发散），永远不能肯定收敛。