积分判别法（Cauchy 积分判别法）

条件

设 $f:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$ 非负、单调递减，且令 $a_n=f(n)$。

结论

级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与反常积分（ANL-DEF-029）${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 同敛散。

更进一步，部分和与积分的差

$$d_n:=\sum _{k=1}^n{a}_k-{\int }_1^{n}f(x)dx$$

单调递减且有界，故 ${\lim }_{n\to \infty }{d}_n$ 存在（这正是 Euler 常数 $\gamma$ 的来源，见应用）。

几何/直觉理解

把级数 $\sum f(n)$ 看成一排宽为 $1$、高为 $f(n)$ 的矩形面积之和，把积分 ${\int }_1^{\infty }f$ 看成曲线 $y=f(x)$ 下方的面积。$f$ 单调递减时，矩形面积与曲边面积互相夹逼：

$${\int }_n^{n+1}f(x)dx\le f(n)\le {\int }_{n-1}^{n}f(x)dx.$$

（左：矩形以右端点高 $f(n)$ 为高，被压在曲线下；右：以左端点高为高，盖住曲线。）

于是”无穷个矩形面积之和有限 $⟺$ 曲线下总面积有限”——级数与积分的敛散被牢牢绑定。这把离散求和问题转化为可用 Newton–Leibniz 求原函数的连续积分问题，是判定 $p$-级数等的最锐利工具。

证明

证明： 因 $f$ 非负递减，对整数 $k\ge 2$，在 $[k-1,k]$ 上 $f(k)\le f(x)\le f(k-1)$，积分得

$$f(k)\le {\int }_{k-1}^{k}f(x)dx\le f(k-1).$$

对左端求和（$k=2$ 到 $n$）：

$$\sum _{k=2}^n{a}_k\le {\int }_1^{n}f(x)dx.\text{\hspace{1em}(1)}$$

对右端求和（$k=2$ 到 $n$）：

$${\int }_1^{n}f(x)dx\le \sum _{k=2}^n{a}_{k-1}=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k.\text{\hspace{1em}(2)}$$

记 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$，$I_n={\int }_1^{n}f$。由 (1)(2)：

$$S_n-a_1\le I_n\le S_{n-1}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 若 ${\int }_1^{\infty }f$ 收敛：$\{I_n\}$ 有上界，由 (3) 左式 $S_n\le a_1+I_n$ 有上界。正项级数部分和单调递增有上界 ⇒ 收敛。
• 若 ${\int }_1^{\infty }f$ 发散（$f\ge 0$ ⇒ $I_n\to +\infty$）：由 (3) 右式 $S_{n-1}\ge I_n\to +\infty$ ⇒ $\sum a_n$ 发散。

故二者同敛散。

关于 $d_n$：由 $d_n-d_{n-1}=a_n-{\int }_{n-1}^{n}f\le 0$（左不等式 $f(n)\le {\int }_{n-1}^{n}f$）知 $\{d_n\}$ 递减；又由 (3) 右式 $I_n\le S_{n-1}$ 得 $d_n=S_n-I_n\ge S_n-S_{n-1}=a_n\ge 0$，故 $\{d_n\}$ 有下界 $0$。单调递减有下界 ⇒ $\{d_n\}$ 收敛。$■$

常见错误

• ✗ 忽略单调递减前提就用积分。若 $f$ 非单调，矩形与积分的夹逼失效。反例：$f$ 在整数点取 $0$、在别处取大值，则 $\sum f(n)=0$ 收敛而 $\int f$ 可发散。
• ✗ 忘记 $f$ 须非负。变号时积分判别法不适用（积分与求和的单调性论证崩溃）。
• ✗ 误认为”级数的和 $=$ 积分的值”。二者只同敛散，数值一般不等（差为 $\lim d_n$，如 $\gamma$）。
• ✗ 从有限项起 $f$ 才单调递减也可用（改变有限项不影响敛散），却误以为必须全程单调。

推论与应用

• $p$-级数判定（ANL-THM-038 的标尺由此确立）：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 收敛 $⟺p>1$（详见例题）
• 对数 $p$-级数：$\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ 收敛 $⟺p>1$
• Euler–Mascheroni 常数：取 $f(x)=1/x$，$d_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\to \gamma \approx 0.5772$

跨专业应用

• 算法分析：调和级数 $\sum 1/k\approx \ln n$ 给出快排等算法的平均比较次数
• 物理：用积分估计离散能级求和（配分函数的连续近似）