几何级数与等比型级数求和

题目

1. 证明几何级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n$ 当 $|r|<1$ 时收敛于 $\frac{1}{1-r}$，当 $|r|\ge 1$ 时发散。
2. 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}$、$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{3^n}$ 的和。
3. 求算术–几何混合级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$（$|x|<1$）的和。

分析

几何级数是唯一能直接写出部分和闭式的标杆级数（ANL-DEF-033），一切比较 / 比值 / 根值判别法的”参照物”。第 3 题的 $\sum n{x}^n$ 则示范两种标准手法：错位相减（离散版分部求和）与逐项求导，二者殊途同归。

证明 / 解答

解：

第 1 题： 设 $r\ne 1$，部分和

$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}{r}^k=\frac{1-r^n}{1-r}.$$

• $|r|<1$：$r^n\to 0$，故 $S_n\to \frac{1}{1-r}$，收敛且和为 $\frac{1}{1-r}$。
• $|r|>1$：$|r^n|\to \infty$，$S_n$ 无有限极限，发散。
• $r=1$：$S_n=n\to \infty$，发散；$r=-1$：$S_n$ 在 $1,0$ 间振荡，发散。

（$|r|\ge 1$ 时通项 $r^n\nrightarrow 0$，也可直接由必要条件 ANL-THM-036 判发散。）$■$

第 2 题：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1/2}{1-1/2}=1,\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{3^n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{1}{1-(-1/3)}=\frac{3}{4}.$$

第 3 题（错位相减）： 设 $T=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$（$|x|<1$ 时收敛，可由比值判别法 ANL-THM-039 验证）。记部分和

$$T_N=\sum _{n=1}^{N}n{x}^n,x{T}_N=\sum _{n=1}^{N}n{x}^{n+1}=\sum _{n=2}^{N+1}(n-1)x^n.$$

相减：

$$(1-x)T_N=\sum _{n=1}^N{x}^n-N{x}^{N+1}=\frac{x(1-x^N)}{1-x}-N{x}^{N+1}.$$

令 $N\to \infty$（$|x|<1$ 时 $x^N\to 0$、$N{x}^{N+1}\to 0$）：

$$(1-x)T=\frac{x}{1-x}⟹\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}.}$$

$■$

逐项求导验证：对 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$ 两边求导得 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$，乘 $x$ 即同一结果（逐项求导的合法性属幂级数理论）。

关键技巧

• 部分和闭式：几何级数 $S_n=\frac{1-r^n}{1-r}$ 是少数能显式求和的级数，务必背熟。
• 错位相减：处理 $\sum n{x}^n$、$\sum n^2{x}^n$ 等”多项式 × 等比”级数的通用离散手法，等价于 Abel 分部求和。
• 公比识别：先把级数整理成 $\sum (\text{公比}{)}^n$ 形式，注意首项指标（从 $n=0$ 还是 $n=1$ 起）会改变和值。

变式

• 变式 1：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}$（代 $x=1/2$，得 $\frac{1/2}{(1/2{)}^2}=2$）。
• 变式 2：求 $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{x}^n$（再对 $\frac{x}{(1-x{)}^2}$ 求导并乘 $x$，得 $\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$）。
• 变式 3：循环小数 $0.\overline{27}=0.272727\cdots$ 用几何级数求其分数表示（$=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$）。