级数的收敛与发散

定义陈述

设级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 的部分和数列为 ${S_{n}}$ （ANL-DEF-032）。

若部分和数列 ${S_{n}}$ 收敛（ANL-DEF-004）于有限极限 $S$ ，即
$n \to \infty lim S_{n} = S \in R,$
则称级数 $\sum a_{n}$ 收敛，并称 $S$ 为级数的和，记作
$n = 1 \sum \infty a_{n} = S .$
若 ${S_{n}}$ 不收敛（极限不存在或为 $\pm \infty$ ），则称级数 $\sum a_{n}$ 发散。

符号的双重含义： $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 既指级数这个对象（无论敛散），在收敛时又指它的和这个数。上下文区分二者；只有收敛级数才能把符号当作一个确定的数来运算。

概念	关键差别
通项 $a_{n} \to 0$	必要但不充分（ANL-THM-036）；调和级数 $\sum 1/ n$ 通项趋零却发散
部分和 $S_{n} \to S$	收敛的定义；直接刻画级数的和
发散到 $+ \infty$	$S_{n} \to + \infty$ ，如 $\sum 1$ 、 $\sum 1/ n$
振荡发散	$S_{n}$ 无极限也不趋于 $\pm \infty$ ，如 $\sum (- 1)^{n}$ （ $S_{n}$ 在 $0, - 1$ 间跳动）

延续”分期付款”的比喻（ANL-DEF-032）：级数收敛 $⟺$ 累计付款额 $S_{n}$ 稳定到一个确定总额 $S$ 。

判定级数敛散，从来不是看通项 $a_{n}$ ，而是看累积量 $S_{n}$ 是否趋于极限——这是初学者最易混淆之处：

几何级数（标杆例子）： $\sum_{n = 0}^{\infty} r^{n}$ ，部分和 $S_{n} = \frac{1 - r ^{n + 1}}{1 - r}$ （ $r \neq = 1$ ）。当 $∣ r ∣ < 1$ 时 $r^{n + 1} \to 0$ ，故 $S_{n} \to \frac{1}{1 - r}$ ，收敛；当 $∣ r ∣ \geq 1$ 时发散。
调和级数 $\sum 1/ n$ ：通项 $\to 0$ ，但 $S_{n} \to + \infty$ ，发散（经典反例，见 ANL-THM-036 常见错误）。

收敛与否是级数的”全有或全无”属性：要么部分和稳定到一个数，要么不稳定。中间没有第三种状态。