比值判别法（D'Alembert 判别法）

条件

设 $\sum a_n$ 为正项级数，$a_n>0$，且极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(\text{允许 }q=+\infty )$$

存在。

结论

• 若 $q<1$，则 $\sum a_n$ 收敛；
• 若 $q>1$（含 $q=+\infty$），则 $\sum a_n$ 发散；
• 若 $q=1$，本判别法失效（不能判定）。

几何/直觉理解

比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 衡量级数项”衰减的速度”。若这个比值最终稳定在 $q<1$，则级数项大致像公比为 $q$ 的几何级数那样按指数衰减——而几何级数 $\sum q^n$（$q<1$）收敛，故原级数也收敛。反之 $q>1$ 时项在指数增长，连趋零都做不到，必发散。

这正是”拿几何级数当标尺”的思想（比较判别法 ANL-THM-038 的典型应用），适合通项含 $n!$、$a^n$ 等”乘积/指数结构”的级数——相邻项一除，阶乘和幂次大量约简。

$q=1$ 为何失效：此时衰减速度恰在几何级数的临界点，比几何级数更精细的差异（如 $1/n$ 与 $1/n^2$ 的多项式衰减）无法被比值分辨。$p$-级数 $\sum 1/n^p$ 对任何 $p$ 都有 $q=1$，却 $p>1$ 收敛、$p\le 1$ 发散——比值判别法对它一律无能为力。

证明

证明：

情形 $q<1$。 取 $r$ 使 $q<r<1$。由极限定义，存在 $N$，使 $n\ge N$ 时 $\frac{a_{n+1}}{a_n}<r$。于是对 $n\ge N$，

$$a_n=a_N\cdot \frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}<a_N{r}^{n-N}=\left(\frac{a_N}{r^N}\right)r^n.$$

右端是公比 $r\in (0,1)$ 的几何级数（收敛）的常数倍。由比较判别法（ANL-THM-038），${\sum }_{n\ge N}{a}_n$ 收敛，故 $\sum a_n$ 收敛。

情形 $q>1$。 存在 $N$，使 $n\ge N$ 时 $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$，即 $a_{n+1}>a_n>0$。于是 $\{a_n{\}}_{n\ge N}$ 严格递增且为正，故 $a_n\nrightarrow 0$。由收敛必要条件（ANL-THM-036）的逆否，$\sum a_n$ 发散。

情形 $q=1$。 见下方反例，敛散两种可能都会发生，故无法判定。$■$

常见错误

• ✗ $q=1$ 时强行下结论。反例：$\sum 1/n$（发散）与 $\sum 1/n^2$（收敛）均有 $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 1$。$q=1$ 必须改用更精细的判别法（如积分判别 ANL-THM-041）。
• ✗ 用于非正项级数直接判敛散。比值判别法基于几何级数比较，要求正项；对一般级数应考察 $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ 判绝对收敛。
• ✗ 把极限不存在与 $q=1$ 混淆。若 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 振荡无极限，本定理（极限形）不适用，需用上极限版根值判别法（ANL-THM-040）。
• ✗ 误记发散判据为"$q\ge 1$"。$q=1$ 是失效区，并非发散。

推论与应用

• 与根值判别法（ANL-THM-040）配套：比值更易算（尤其含阶乘），根值更强（适用范围更广）
• 求幂级数收敛半径的标准工具之一

跨专业应用

• 数值分析：判定 Taylor / 迭代级数的收敛速度，比值即误差的”收缩因子”
• 概率论：判定分布的矩母函数 / 概率生成函数级数的收敛域