比值与根值判别法的典型应用

题目

判定下列正项级数的敛散性，并体会比值（ANL-THM-039）与根值（ANL-THM-040）判别法各自的适用场景：

选判别法的经验法则：

解：

第 1 题（比值）： $a_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}$ ，

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = \frac{( n + 1 ) n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = \frac{n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} .

故 $n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{e} < 1$ ，由比值判别法收敛。 $■$

第 2 题（比值）： $a_{n} = \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ ，

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2 ^{n + 1}} \cdot \frac{2 ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{n + 1}{n})^{2} \to \frac{1}{2} < 1,

收敛。（根值亦可： $n n^{2} / 2^{n} = \frac{( n n ) ^{2}}{2} \to \frac{1}{2}$ 。） $■$

第 3 题（根值）： $a_{n} = (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ ，整体为 $n$ 次幂，

n a_{n} = \frac{n}{2 n + 1} \to \frac{1}{2} < 1,

由根值判别法收敛。（此题用比值会很繁琐，体现根值对” $n$ 次幂”结构的优势。） $■$

第 4 题（根值 / 比较）： $a_{n} = \frac{2 ^{n} + 1}{3 ^{n} - 1}$ 。根值：

n a_{n} = \frac{n 2 ^{n} + 1}{n 3 ^{n} - 1} = \frac{2 n 1 + 2 ^{- n}}{3 n 1 - 3 ^{- n}} \to \frac{2}{3} < 1,

收敛。（或比较： $a_{n} \sim (2/3)^{n}$ ，与几何级数 ANL-THM-038 同敛散。） $■$

$(1 + 1/ n)^{n} \to e$ ：第 1 题的核心极限，阶乘型级数判敛的常客；由此 $\sum n! / n^{n}$ 收敛而 $\sum n! / (2^{n})$ 等发散（比值 $\to \infty$ ）。
$n n \to 1$ 、 $n C \to 1$ ：根值计算的万能简化，使多项式因子与常数因子在开 $n$ 次方后”消失”。
选对工具省一半功夫：阶乘用比值、纯 $n$ 次幂用根值；两者给出相同极限时（理论上根值更强），挑好算的那个。
临界 $q = 1$ 要换法：若比值 / 根值给出 $1$ ，立即转积分判别法（见 ANL-THM-038 标尺与 $p$ -级数）。

变式 1：判定 $\sum \frac{n ^{n}}{n !}$ （比值 $\to e > 1$ ，发散——与第 1 题互为倒数，体会 $e$ 的临界角色）。
变式 2：判定 $\sum \frac{( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!}$ （比值 $\to \frac{1}{4} < 1$ ，收敛）。
变式 3：构造一个比值极限不存在、但根值判别法仍可判定收敛的级数（提示： $a_{n} = 2^{- n + (- 1)^{n}}$ ，比值在 $2, 1/8$ 间振荡，而 $n a_{n} \to 1/2$ ）。