根值判别法（Cauchy 判别法）

条件

设 $\sum a_n$ 为正项级数，$a_n\ge 0$。记

$$q=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}(\text{允许 }q=+\infty )$$

（更一般地可取上极限 $q={\overline{\lim }}_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}$，结论不变）。

结论

• 若 $q<1$，则 $\sum a_n$ 收敛；
• 若 $q>1$（含 $q=+\infty$），则 $\sum a_n$ 发散；
• 若 $q=1$，本判别法失效。

几何/直觉理解

根值 $\sqrt[n]{a_n}$ 直接问：“若把 $a_n$ 看成某公比的 $n$ 次幂，这个公比是多少？“——即 $a_n\approx q^n$。于是与几何级数 $\sum q^n$ 比较（ANL-THM-038）：$q<1$ 收敛、$q>1$ 发散。

根值判别法特别适合通项本身带 $n$ 次幂结构的级数，如 $\sum {\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n$、$\sum \frac{1}{(\ln n{)}^n}$——开 $n$ 次方后幂次直接脱去。

比值与根值的强弱：凡比值判别法能判定（$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=q\ne 1$）者，根值判别法必能判定且给出同一个 $q$（因 $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=q\Rightarrow \lim \sqrt[n]{a_n}=q$）。但反之不然：存在比值振荡（极限不存在）而根值仍可判定的级数。故根值判别法严格强于比值判别法——代价是根号常比相邻项之比更难算。

证明

证明：

情形 $q<1$。 取 $r$ 使 $q<r<1$。由（上）极限定义，存在 $N$，使 $n\ge N$ 时 $\sqrt[n]{a_n}<r$，即

$$a_n<r^n(n\ge N).$$

右端为公比 $r\in (0,1)$ 的几何级数（收敛）。由比较判别法（ANL-THM-038），$\sum a_n$ 收敛。

情形 $q>1$。 则有无穷多个 $n$ 使 $\sqrt[n]{a_n}>1$，即 $a_n>1$。故 $a_n\nrightarrow 0$，由收敛必要条件（ANL-THM-036）的逆否，$\sum a_n$ 发散。

情形 $q=1$。 见反例，无法判定。$■$

常见错误

• ✗ $q=1$ 时下结论。反例：$\sum 1/n$ 与 $\sum 1/n^2$ 均有 $\sqrt[n]{a_n}\to 1$（因 $\sqrt[n]{n}\to 1$），却一发散一收敛。
• ✗ 误以为比值判别法（ANL-THM-039）失效时根值也必失效。根值更强：比值 $=1$ 或振荡时，根值仍可能给出 $q\ne 1$。
• ✗ 对非正项级数直接套用。应考察 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 判断绝对收敛。
• ✗ 用普通极限而忽略上极限版本。当 $\sqrt[n]{a_n}$ 无极限时，须用 $\overline{\lim }$ 形式，结论仍成立。

推论与应用

• 与比值判别法（ANL-THM-039）互补：含 $n$ 次幂用根值，含阶乘用比值
• 是 Cauchy–Hadamard 幂级数收敛半径公式 $R=1/\overline{\lim }\sqrt[n]{|c_n|}$ 的直接来源

跨专业应用

• 信息论 / 编码：码字数量的指数增长率（信道容量）用根式刻画
• 动力系统：判定轨道级数的收敛，根值即 Lyapunov 型指数