幂级数收敛域与求和综合

题目

1. 求幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 的收敛域（ANL-DEF-038）与和函数。
2. 求 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$ 的收敛域与和函数。
3. 求数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 的和（借助第 1、2 题的和函数）。

提示

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• 第 1 题：$R=1$；逐项求导（ANL-THM-046）得几何级数，求和后再积分回去。端点 $x=\pm 1$ 单独判。
• 第 2 题：$R=1$；由 $\sum x^n=\frac{x}{1-x}$ 逐项求导，或对 $\frac{1}{1-x}$ 求导再乘 $x$。
• 第 3 题：把数值代入和函数——$\sum \frac{n}{2^n}$ 用第 2 题取 $x=\frac{1}{2}$；$\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ 用第 1 题取 $x=1$（注意端点收敛与 Abel 连续性）。

解答

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第 1 题：$\sum x^n/n$

收敛半径：$c_n=1/n$，$\lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim \frac{n+1}{n}=1$，故 $R=1$（ANL-DEF-038）。

端点：$x=1$ 得调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散；$x=-1$ 得 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛（Leibniz）。收敛域 $[-1,1)$。

和函数：设 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$（$|x|<1$）。逐项求导（ANL-THM-046）：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=\frac{1}{1-x}.$$

又 $S(0)=0$，积分回去：

$$S(x)={\int }_0^x\frac{dt}{1-t}=-\ln (1-x),x\in [-1,1).$$

（端点 $x=-1$：级数收敛且 $-\ln 2$，由 Abel 第二定理与和函数单侧连续吻合。）$■$

第 2 题：$\sum n{x}^n$

收敛半径：$c_n=n$，$\sqrt[n]{n}\to 1$ 故 $R=1$。端点 $x=\pm 1$：通项 $n(\pm 1{)}^n\nrightarrow 0$，均发散。收敛域 $(-1,1)$。

和函数：由几何级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$ 逐项求导（ANL-THM-046）：

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}⟹\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2},|x|<1.$$

$■$

第 3 题：数项级数求和

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}$：取第 2 题 $x=\frac{1}{2}$（$\in (-1,1)$）：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}=\frac{1/2}{(1-1/2{)}^2}=\frac{1/2}{1/4}=2.$$

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$：取第 1 题 $x=-1$。$S(-1)=-\ln (1-(-1))=-\ln 2$，而 $S(-1)=\sum \frac{(-1{)}^n}{n}=-\sum \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$，故

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2.$$

$■$

考察点

• ANL-DEF-038 收敛半径（比值 / 根值公式）与端点单独判定
• ANL-THM-046 逐项求导 / 积分求和函数（半径不变）
• 几何级数 $\frac{1}{1-x}$ 作为”母函数”，求导得 $\sum n{x}^n$、积分得 $-\ln (1-x)$
• Abel 第二定理：端点处和函数单侧连续，使 $x\to$ 端点的代入合法

备注

幂级数求和的标准流程：

1. 用比值 / 根值公式（ANL-DEF-038）定收敛半径 $R$；
2. 两端点 $x=x_0\pm R$ 各自代入，用数项级数判别法定收敛域；
3. 在 $(x_0-R,x_0+R)$ 内逐项求导 / 积分（ANL-THM-046）化归到几何级数等已知和；
4. 求出和函数后，代入特定 $x$ 即得相关数项级数之和（注意端点需 Abel 连续性背书）。

与 Maclaurin 展开互逆（ANL-EX-019）：展开是”函数 $\to$ 级数”，本题求和是”级数 $\to$ 函数”，两者共享同一套逐项运算工具。