Cauchy–Hadamard 公式与幂级数逐项求导、积分

条件

幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n$（ANL-DEF-037），和函数记为 $S(x)$。

结论

(I) Cauchy–Hadamard 公式。 其收敛半径（ANL-DEF-038）为

$$R=\frac{1}{{\overline{\lim }}_{n\to \infty }\sqrt[n]{|c_n|}}$$

（约定 $\frac{1}{0}=+\infty$，$\frac{1}{+\infty }=0$）。当极限 $\lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ 存在时，它也等于 $R$。

(II) 内闭一致收敛。 对任意 $0<r<R$，幂级数在 $[x_0-r,x_0+r]$ 上一致收敛。

(III) 逐项求导与积分。 在收敛区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内，$S$ 无穷次可导，且可逐项求导、逐项积分；所得级数收敛半径仍为 $R$：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{c}_n(x-x_0{)}^{n-1},{\int }_{x_0}^{x}S(t)dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{c_n}{n+1}(x-x_0{)}^{n+1}.$$

几何/直觉理解

(I) 把根值判别法（ANL-THM-040）作用到 $\sum |c_n||x-x_0{|}^n$ 上，根值 $\sqrt[n]{|c_n||x-x_0{|}^n}=|x-x_0|\sqrt[n]{|c_n|}\to |x-x_0|\cdot \frac{1}{R}$。它 $<1⟺|x-x_0|<R$——收敛半径就是”根值判别法的临界处”。

(II)(III) 的精神是：幂级数在收敛区间内部表现得和多项式一模一样。虽然在整个开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上未必一致收敛（端点附近可能失控），但在任何内闭区间上一致收敛（由 Weierstrass M-判别 ANL-THM-044，以 $r^n$ 为控制），于是一致收敛的交换定理（ANL-THM-045）允许逐项求导 / 积分。求导 / 积分不改变收敛半径，是因为系数乘 / 除以 $n$ 这类多项式因子开 $n$ 次方后极限为 $1$（$\sqrt[n]{n}\to 1$）。

一句话：幂级数是”无穷次多项式”，在收敛区间内可像多项式那样随意微积分，且半径不变——这是它成为函数表示利器（ANL-DEF-039）的根本。

证明

(I) Cauchy–Hadamard。 设 $L=\overline{\lim }\sqrt[n]{|c_n|}$，$R=1/L$。对固定 $x$，考察绝对值级数 $\sum |c_n||x-x_0{|}^n$，其根值

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\sqrt[n]{|c_n||x-x_0{|}^n}=|x-x_0|\cdot \overline{\lim }\sqrt[n]{|c_n|}=\frac{|x-x_0|}{R}.$$

由根值判别法（ANL-THM-040）：$\frac{|x-x_0|}{R}<1$（即 $|x-x_0|<R$）时绝对收敛，$>1$ 时通项不趋零故发散。这恰是收敛半径的定义，故收敛半径 $=R$。$■$

(II) 内闭一致收敛。 取 $0<r<R$。对 $x\in [x_0-r,x_0+r]$，$|c_n(x-x_0{)}^n|\le |c_n|r^n=:M_n$。由 (I)，$\sum |c_n|r^n$ 收敛（因 $r<R$）。由 Weierstrass M-判别法（ANL-THM-044），幂级数在 $[x_0-r,x_0+r]$ 上一致收敛。$■$

(III) 逐项运算。 先证求导级数 ${\sum }_{n\ge 1}n{c}_n(x-x_0{)}^{n-1}$ 半径仍为 $R$：由 $\sqrt[n]{n}\to 1$，

$$\overline{\lim }\sqrt[n]{n|c_n|}=\lim \sqrt[n]{n}\cdot \overline{\lim }\sqrt[n]{|c_n|}=1\cdot \frac{1}{R}=\frac{1}{R},$$

故求导级数收敛半径为 $R$。任取 $x\in (x_0-R,x_0+R)$，选 $r$ 使 $|x-x_0|<r<R$；在 $[x_0-r,x_0+r]$ 上原级数与求导级数均一致收敛（由 (II)）。由一致收敛的逐项求导定理（ANL-THM-045 (III)），$S$ 在该区间可导且 $S^{\prime }(x)=\sum n{c}_n(x-x_0{)}^{n-1}$。

逐项积分同理：积分级数 $\sum \frac{c_n}{n+1}(x-x_0{)}^{n+1}$ 半径为 $R$，在内闭区间上对一致收敛的原级数用逐项积分定理（ANL-THM-045 (II)）即得。

反复对 $S^{\prime }$ 施加上述结论，知 $S$ 在 $(x_0-R,x_0+R)$ 内无穷次可导。$■$

常见错误

• ✗ 把收敛半径公式写成 $R=\lim \sqrt[n]{|c_n|}$（漏取倒数、漏用上极限）。正确是 $R=1/\overline{\lim }\sqrt[n]{|c_n|}$。
• ✗ 用比值式 $R=\lim |c_n/c_{n+1}|$ 时不验证极限存在。系数有”空缺”（如只含偶次幂）时比值振荡，须回到根值（上极限）公式。
• ✗ 误以为幂级数在整个开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上一致收敛。一般只内闭一致收敛；端点附近可能不一致。
• ✗ 逐项求导后忘记端点收敛性可能改变。半径不变，但端点敛散需重新判定（如 $\sum x^n/n$ 在 $x=-1$ 收敛，求导后 $\sum x^{n-1}$ 在 $x=-1$ 发散）。

推论与应用

• 幂级数的和函数在收敛区间内为 $C^{\infty }$ 解析函数，且 $c_n=\frac{S^{(n)}(x_0)}{n!}$（与 Taylor 级数 ANL-DEF-039 系数一致，展开唯一）
• 逐项积分 / 求导是求级数和的标准手法（见例题与 ANL-THM-044 配套）
• Abel 第二定理：若幂级数在端点收敛，则和函数在该端点单侧连续

跨专业应用

• 数值分析：用幂级数（Taylor 截断）计算 $e^x$、$\ln$、三角函数，逐项求导得导数近似
• 微分方程：幂级数法（待定系数）求解 ODE，逐项求导代入方程定系数