收敛半径与收敛区间

定义陈述

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n$（ANL-DEF-037）。称

$$R=\sup \left\{|x-x_0|:\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n\text{ 收敛}\right\}\in [0,+\infty ]$$

为该幂级数的收敛半径。其行为由如下收敛三分律刻画：

• 当 $|x-x_0|<R$ 时，幂级数绝对收敛（ANL-DEF-034）；
• 当 $|x-x_0|>R$ 时，幂级数发散；
• 当 $|x-x_0|=R$（端点）时，敛散需逐点单独判定。

去掉端点的开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 称为收敛区间；并入实际收敛的端点后所得集合称为收敛域。

两个极端：$R=0$ 时幂级数仅在中心 $x_0$ 收敛；$R=+\infty$ 时在整个 $\mathbb{R}$ 上收敛。

与相近概念的区别

术语	含义
收敛半径 $R$	一个数（或 $0,\infty$），刻画收敛”范围大小”
收敛区间	开区间 $(x_0-R,x_0+R)$，不含端点
收敛域	收敛区间 $+$ 实际收敛的端点，是级数真正的定义域

端点是细活：同一 $R$ 下，两端点可能”都收敛""都发散”或”一收一散”，必须各自代入用数项级数判别法（如 Leibniz、$p$-级数）单独判定。

直觉理解

Abel 第一定理是收敛半径存在的根据：若幂级数在某点 $x_1$ 收敛，则它在一切满足 $|x-x_0|<|x_1-x_0|$ 的点绝对收敛。 直觉是——在 $x_1$ 处收敛迫使通项 $c_n(x_1-x_0{)}^n$ 有界，于是对更靠近中心的 $x$，通项被一个公比 $<1$ 的几何级数压住，故绝对收敛。

由此，“收敛点集”必是一个关于中心 $x_0$ 对称、由内向外扩张的区间：存在一个临界半径 $R$，内部全收敛、外部全发散。这正是幂级数区别于一般函数项级数的根本规整性——收敛域不可能是”东一块西一块”，只能是一段以 $x_0$ 为心的区间。

把 $R$ 想成”信号的有效半径”：离中心越近信号越强（绝对收敛），超出半径信号失效（发散），恰好在边界则需精细测量（端点判定）。$R$ 的计算公式见 Cauchy–Hadamard 定理（ANL-THM-046）。

链接

• 幂级数的定义：ANL-DEF-037
• $R$ 的计算公式（Cauchy–Hadamard）与逐项运算：ANL-THM-046
• 端点判定用到的绝对 / 条件收敛：ANL-DEF-034