常见初等函数的 Maclaurin 展开

题目

求下列函数的 Maclaurin 级数（ANL-DEF-039）及收敛域，并验证收敛到原函数：

1. $e^x$
2. $\sin x$ 与 $\cos x$
3. $\ln (1+x)$
4. $(1+x{)}^{\alpha }$（$\alpha \in \mathbb{R}$，二项级数）

分析

两条路线：(a) 直接法——算各阶导数代入系数公式 $c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，再用 Taylor 余项（ANL-THM-025）验证 $R_n\to 0$；(b) 间接法——从已知展开出发，借逐项求导 / 积分（ANL-THM-046）或代换快速导出新展开。$\ln (1+x)$ 用间接法（对几何级数积分）最省力。

证明 / 解答

解：

第 1 题（$e^x$）： $f^{(n)}(x)=e^x$，$f^{(n)}(0)=1$，故 $c_n=1/n!$：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

收敛域 $\mathbb{R}$（$R=\infty$，由 $c_n=1/n!$ 及比值式）。余项验证：对固定 $x$，$|R_n(x)|=\left|\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1}\right|\le \frac{e^{|x|}|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$（阶乘压倒幂）。故处处收敛到 $e^x$。$■$

第 2 题（$\sin x,\cos x$）： $\sin$ 的各阶导在 $0$ 处循环取 $0,1,0,-1$，故

$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots ,$$ $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots .$$

两者收敛域均为 $\mathbb{R}$；余项 $|R_n(x)|\le \frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$（各阶导有界于 $1$）。注意 $\cos x=(\sin x{)}^{\prime }$ 恰由逐项求导（ANL-THM-046）得到，互相印证。$■$

第 3 题（$\ln (1+x)$，间接法）： 从几何级数 $\frac{1}{1+t}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{t}^n$（$|t|<1$）出发，在 $[0,x]$ 上逐项积分（ANL-THM-046）：

$$\ln (1+x)={\int }_0^x\frac{dt}{1+t}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$

收敛半径 $R=1$。端点：$x=1$ 得交错调和级数 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n+1}$ 收敛（Leibniz），$x=-1$ 得 $-\sum \frac{1}{n+1}$ 发散。故收敛域 $(-1,1]$，且 $\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$。$■$

第 4 题（二项级数）： $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$，$f^{(n)}(0)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)$，故

$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.$$

当 $\alpha$ 非非负整数时收敛半径 $R=1$（比值 $\to 1$）。$\alpha$ 为非负整数时退化为有限项（多项式，$R=\infty$）。$■$

关键技巧

• 直接法配余项：$e^x,\sin ,\cos$ 因各阶导有界 / 受阶乘压制，余项 $\frac{M|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$，处处收敛。
• 间接法（逐项积分 / 求导）：$\ln (1+x)$ 对 $\frac{1}{1+t}$ 积分、$\arctan x$ 对 $\frac{1}{1+t^2}$ 积分，远比硬算 $n$ 阶导高效（ANL-THM-046 保证合法）。
• 端点单独判：收敛半径定内部，两端点务必各代入用 Leibniz / $p$-级数判，常出现”一端收敛一端发散”。
• 五个母展开（$e^x,\sin x,\cos x,\frac{1}{1-x},(1+x{)}^{\alpha }$）记熟后，多数展开靠代换 / 微积分组合导出。

变式

• 变式 1：由 $\frac{1}{1+t^2}=\sum (-1{)}^n{t}^{2n}$ 积分求 $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$，并导出 $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$（$x=1$，Leibniz 公式）。
• 变式 2：用 $\alpha =-\frac{1}{2}$ 的二项级数展开 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$。
• 变式 3：由 $\sin x$ 展开求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$（与 L’Hospital 法则 ANL-THM-024 对照）。