余数定理与因式定理

条件

设 $f (x) \in K [x]$ ， $c \in K$ 。

$f (x)$ 除以 $(x - c)$ 的余式等于 $f (c)$ 。即

f (x) = (x - c) \cdot q (x) + f (c),

其中 $q (x) \in K [x]$ ，且 $de g q = de g f - 1$ （当 $de g f \geq 1$ ）。

$(x - c)$ 是 $f (x)$ 的因式 $⟺$ $f (c) = 0$ 。即

(x - c) ∣ f (x) ⟺ f (c) = 0.

余数定理说：要把 $f (x)$ 除以 $(x - c)$ ，你不用真的做完整多项式除法——直接把 $c$ 代入 $f$ 求值就够了。

为什么？因为带余除法（ALG-THM-001）保证余式的次数 $< de g (x - c) = 1$ ，故余式只能是常数 $r \in K$ 。代入 $x = c$ ：

f (c) = (c - c) q (c) + r = 0 + r = r .

因式定理是余数定理的直接推论： $r = 0 ⟺ (x - c) ∣ f (x)$ 。所以”求根”和”找一次因式”是完全等价的问题——这看似平凡，却是一整类代数问题的核心观察。

求多项式在 $c$ 处的值 $f (c)$ ≈ 做一次带余除法（除数 $(x - c)$ ）。

余数定理：由带余除法（ALG-THM-001），存在唯一 $q (x), r (x) \in K [x]$ 使

f = (x - c) q + r, r = 0 或 de g r < de g (x - c) = 1.

故 $de g r \leq 0$ ，即 $r$ 是常数。令 $r$ 即为余数。

代入 $x = c$ ：

f (c) = (c - c) q (c) + r = 0 + r = r . ■

因式定理：

( $\Rightarrow$ ) 若 $(x - c) ∣ f$ ，则余式 $r = 0$ ，由余数定理得 $f (c) = 0$ 。
( $\Leftarrow$ ) 若 $f (c) = 0$ ，则由余数定理，余式 $r = f (c) = 0$ ，故 $(x - c) ∣ f$ 。 $■$

✗ 把余数定理反过来用：” $f (c) = r$ 意味着 $r$ 是唯一可能的余数”。这正是余数定理的内容——余数定理本身就是这个结论。
✗ 认为因式定理对任意多项式 $g (x)$ 成立： $(g (c) = 0) ⟺ (g (x) ∣ f (x))$ 。因式定理只对一次因式 $(x - c)$ 成立，不是对任意的 $g (x)$ 。 $g (c) = 0$ 最多说明 $g (x)$ 和 $(x - c)$ 有公因式，但 $g (x) ∣ f (x)$ 需要更强的整除条件。
✗ 混淆” $(x - c)$ 是重因式”与” $(x - c)$ 是因式”。因式定理只断言 $(x - c)$ 是某个因式（最低重数为 1），不判定重数。重数判定需借助形式导数（ALG-THM-006）。

计算机代数：综合除法（Horner 算法）用 $O (n)$ 时间计算 $f (c)$ 、 $f^{'} (c)$ 和 $q (x)$ ，是多项式求值与求导的标准算法
编码理论：Reed–Solomon 码的译码中需要对码字多项式在各求值点快速求值（与余数定理结合提高效率）