矩阵与矩阵的初等变换

定义陈述

矩阵是 $m\times n$ 个数排成的矩形阵列：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right).$$

称 $m=n$ 时为方阵，$m=1$ 时为行向量，$n=1$ 时为列向量。

矩阵的初等行变换指以下三种操作：

1. 行交换：交换两行的位置；
2. 行倍乘：某行乘以非零常数；
3. 行倍加：某行的 $k$ 倍加到另一行。

类似定义初等列变换。初等行 / 列变换统称初等变换。

直觉理解

初等变换是解线性方程组的”允许操作”——对应方程组中两个方程互换、方程两边同乘非零数、一个方程的 $k$ 倍加到另一个方程。这些操作不改变方程组的解，只是让形式更简单。

对应的矩阵就是初等矩阵（单位阵执行一次初等变换所得），左乘行变换、右乘列变换。

链接

• 用于：ALG-DEF-017 阶梯形、ALG-THM-019 Gauss 消元法