Gauss 消元法

条件

对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$。

结论

通过有限次初等行变换，总可以将 $A$ 化为行阶梯形。继续变换则可化为行简化阶梯形（RREF），且 RREF 唯一。

直觉理解

Gauss 消元就是”从左上到右下，逐列清零”的过程：

1. 找主元（当前列第一个非零位置）；
2. 若没有非零元素则跳到下一列；
3. 将主元行换到当前位置；
4. 用主元将下方所有元素消为零。

算法简述

For 列 j = 1..n:
    在行 i..m 中找 a_{ij} ≠ 0
    若找到则交换到第 i 行，用 a_{ij} 消去下方元素，i++

链接

• 前置：ALG-DEF-017 阶梯形
• 用于：ALG-THM-024 齐次方程组解的存在性