齐次方程组有非零解的充要条件

条件

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，考虑齐次方程组 $Ax=0$。

结论

$Ax=0$ 有非零解 $⟺\mathrm{rank}(A)<n$（即未知数个数 > 系数矩阵的秩）。

特别地，当 $m<n$（方程数 < 未知数个数）时，齐次方程组必有非零解。

直觉理解

$n$ 个未知数只有 $r$ 个有效约束（$\mathrm{rank}=r$），则有 $n-r$ 个自由度——有剩余自由度时必然存在非零解。

链接

• 前置：ALG-THM-019 Gauss 消元法、ALG-DEF-020 矩阵的秩
• 用于：ALG-THM-025 齐次解空间维数