替换定理（Steinitz exchange）

条件

设向量组 (I) ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，且可由向量组 (II) ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性表示。

结论

$r\le s$，且可以用 (I) 替换掉 (II) 中的 $r$ 个向量，使替换后的向量组仍与 (II) 等价（即张成同一子空间）。

直觉理解

替换定理是线性代数中最核心的组合工具：如果一个无关组能被另一组表示，那么无关组的向量个数不超过另一组的个数（“不能用更少的维度表示更多无关方向”）。

类比：$r$ 个不冗余的核心成员能做的事，如果 $s$ 个人都能做，那至少需要 $s\ge r$ 个人。

链接

• 前置：ALG-DEF-019 极大无关组、ALG-THM-020 相关性判定
• 用于：ALG-THM-022 行秩 = 列秩