线性变换的矩阵表示

定义陈述

设 $\phi :V\to W$ 是线性映射，$B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ 是 $V$ 的基，$B^{\prime }=\{w_1,\dots ,w_m\}$ 是 $W$ 的基。

$\phi$ 在基对 $(B,B^{\prime })$ 下的矩阵 $A\in F^{m\times n}$ 定义为：$A$ 的第 $j$ 列是 $\phi (v_j)$ 在 $B^{\prime }$ 下的坐标。

即若 $\phi (v_j)={\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i$，则 $A=(a_{ij})$。

对任意 $v\in V$，有坐标关系：

$$[\phi (v){]}_{B^{\prime }}=A[v{]}_B.$$

直觉理解

矩阵就是线性变换的”坐标版本”——选好基后，变换完全由矩阵描述。矩阵的列是基向量像的坐标。

链接

• 前置：ALG-DEF-032 线性变换、ALG-DEF-028 基变换
• 用于：ALG-THM-036 线性变换与矩阵一一对应