基扩充定理

条件

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间， $S = {v_{1}, \dots, v_{r}}$ 是 $V$ 中线性无关的向量组（ $r < n$ ）。

存在向量 $v_{r + 1}, \dots, v_{n} \in V$ 使得 ${v_{1}, \dots, v_{r}, v_{r + 1}, \dots, v_{n}}$ 成为 $V$ 的一组基。

任何无关组都可以”扩展”成一组基——缺几个就补几个方向，直到铺满整个空间。这保证我们可以从任意一个”干净的起点”构建基。