基的存在性与维数的唯一性

条件

设 $V$ 是有限维线性空间（存在有限生成集）。

结论

1. 基的存在性：$V$ 存在一组基。
2. 维数的唯一性：$V$ 的任意两组基所含向量个数相同，因此 $\dim V$ 是良定义的。
3. 基扩充：任意线性无关的向量组可扩充为一组基。

直觉理解

有限维空间总有一个”最小生成集”——它就是基。不管你怎么选基，个数都一样，这就是空间的”维度”。

证明思路

从有限生成集中逐步剔除”冗余”向量（可由其它线性表示），最后留下的就是基。唯一性由替换定理（ALG-THM-021）保证。$■$

链接

• 前置：ALG-DEF-026 基与维数、ALG-THM-021 替换定理
• 用于：ALG-THM-029 基扩充定理