可对角化

定义陈述

$n$ 阶方阵 $A$ 称为可对角化（diagonalizable），若 $A$ 相似于某个对角矩阵 $D$，即存在可逆 $P$ 使

$$P^{-1}AP=D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

等价地，线性变换 $\phi$ 可对角化当且仅当存在一组由特征向量组成的基。

直觉理解

可对角化 = 能找到一组基，使变换在这组基下只是一个”伸缩”（对角矩阵）。在这组基下，每个坐标轴方向都是特征方向。

链接

• 前置：ALG-DEF-037 相似矩阵、ALG-DEF-035 特征值
• 用于：ALG-THM-040 可对角化充要条件