特征值与特征向量

定义陈述

设 $\phi :V\to V$ 是线性变换。若非零向量 $v\in V$ 和标量 $\lambda \in F$ 满足

$$\phi (v)=\lambda v,$$

则称 $\lambda$ 是 $\phi$ 的特征值（eigenvalue），$v$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量（eigenvector）。

特征值 $\lambda$ 对应的所有特征向量加上零向量构成子空间，称为特征子空间（eigenspace）$E_{\lambda }=\ker (\phi -\lambda I)$。

直觉理解

特征向量 = 在变换 $\phi$ 下”方向不变、只被拉伸/压缩”的向量。特征值 = 拉伸倍数。

几何：旋转 90° 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上没有实特征向量（因为方向都变了），而伸缩变换 $\phi (x,y)=(2x,y)$ 有特征值 2（对应 $x$-轴）和 1（对应 $y$-轴）。

链接

• 前置：ALG-DEF-032 线性变换
• 用于：ALG-DEF-036 特征多项式、ALG-THM-039 特征向量无关性