最值定理（闭区间连续函数有界且取得最值）

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（按 ANL-DEF-012）。

结论

1. 有界：$\exists M>0,\forall x\in [a,b]:|f(x)|\le M$。
2. 取得最值：$\exists x_M,x_m\in [a,b]$ 使 $$f(x_M)=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x),f(x_m)=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x).$$

几何/直觉理解

闭区间是”装得下又关得住”的容器：

• 闭：端点 $a,b$ 包含——避免”逼近端点时函数飞掉”，如 $1/x$ 在 $(0,1]$ 上无界。
• 有界：长度有限——避免函数在无穷远处发散，如 $x$ 在 $[0,+\infty )$ 上无最大值。

连续 = “图像不跳跃”——这两点合起来才能保证最值”实际取到”，而非仅”无穷靠近某极值不达到”。

三个条件缺一不可：

• 不闭（如 $(0,1]$）：$f(x)=1/x$ 连续但无界。
• 不连续（如 $f(x)=1/x$ 延拓 $f(0)=0$）：仍无最值。
• 无界（如 $[0,+\infty )$）：$f(x)=x$ 连续但无最大值。

证明（用 Bolzano–Weierstrass）

第 1 部分：有界性

反证。 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界。则对每个 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$， 存在 $x_n\in [a,b]$ 使 $|f(x_n)|>n$。

由 $\{x_n\}\subseteq [a,b]$ 有界，由 ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass 定理， 存在子列（按 ANL-DEF-006）$x_{n_k}\to \xi$，且 $\xi \in [a,b]$（闭区间是闭集，含极限点）。

由 $f$ 在 $\xi$ 连续：$f(x_{n_k})\to f(\xi )$，故 $\{f(x_{n_k})\}$ 收敛——尤其有界（ANL-DEF-004 收敛 ⇒ 有界）。 但构造时 $|f(x_{n_k})|>n_k\to \infty$，无界，矛盾。$■$（有界性）

第 2 部分：最值取得

由有界性，$M^{\ast }:={\sup }_{x\in [a,b]}f(x)$ 存在且有限（按 ANL-AX-001）。 按上确界定义，存在 $\{x_n\}\subseteq [a,b]$ 使 $f(x_n)\to M^{\ast }$。

由 ANL-THM-008，$\{x_n\}$ 有收敛子列 $x_{n_k}\to x_M\in [a,b]$。 由 $f$ 连续：$f(x_{n_k})\to f(x_M)$。又 $f(x_{n_k})$ 是 $\{f(x_n)\}$ 的子列，趋于 $M^{\ast }$。 极限唯一 ⇒ $f(x_M)=M^{\ast }$。即 $f$ 在 $x_M$ 取得最大值。

最小值的论证对称。$■$

常见错误

• ✗ 在开区间上套用本定理。 反例：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续，$\sup =1,\inf =0$，都不取得。
• ✗ 把结论中的”最值”误以为”唯一”。 反例：$f(x)=\sin x$ 在 $[0,4\pi ]$ 上 $\max =1$ 在 $x=\pi /2$ 和 $5\pi /2$ 取得。 定理只断言至少存在一处取得最值。
• ✗ 把”连续”减弱为”可去间断”。 反例：$f(x)=x$ ($x\ne 1/2$), $f(1/2)=100$，在 $[0,1]$ 上不连续， 虽然有最大值 $100$，但若改为 $f(1/2)=-100$ 则取不到原始 $\sup \{x:x\in [0,1]\}=1$。 连续性不可丢。

推论

• 连续函数在闭区间上的值域也是闭区间（结合 ANL-THM-013 IVT）： $f([a,b])=[\min f,\max f]$。
• 优化基础：闭有界域上的连续目标函数，最优解总是存在——这是 Weierstrass 极值定理在 ${\mathbb{R}}^n$ 上推广的基础。

链接

• 前置：ANL-DEF-012、ANL-DEF-004、ANL-DEF-006
• 关键工具：ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass
• 姐妹定理：ANL-THM-013 IVT、ANL-THM-015 Cantor 定理
• 推广：紧致空间上连续函数的最值存在性（拓扑学）

跨专业应用

• 优化：约束最优化问题中”最优解存在”的标准引理；线性规划在多面体（紧凸集）上的最优解存在性
• 经济学：消费者效用最大化问题需要紧的预算集，本定理保证最优消费组合的可解性
• 机器学习：损失函数在紧参数空间上的最小值存在——非紧时（如 ${\mathbb{R}}^d$）需附加正则化