数列

定义陈述

一个数列是从 $\mathbb{N}$（或 ${\mathbb{N}}^{\ast }$）到 $\mathbb{R}$ 的映射。

形式上，数列 $\{a_n\}$ 是函数 $a:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$，将 $n\mapsto a_n$。 通常按下标顺序写作 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$。

与相近概念的区别

概念	关键差别
数列 $\{a_n\}$	定义域为 ${\mathbb{N}}^{\ast }$，离散
函数 $f(x)$	定义域为 $\mathbb{R}$ 的子集，连续
集合 $\{a_n:n\ge 1\}$	不计顺序、不计重复

直觉理解

数列就是”按整数标号排好的一串实数”。顺序很重要：$1,2,1,2,\dots$ 和 $2,1,2,1,\dots$ 是不同的数列。 把它想象成一行无穷无尽的小格子，第 $n$ 个格子里放着实数 $a_n$。 讨论数列的”行为”时，我们关心当 $n$ 越来越大时格子里的数往哪走——这就是极限的源头。

链接

• 用于定义：ANL-DEF-003 单调数列、ANL-DEF-004 收敛数列、ANL-DEF-005 有界数列
• 用于定理：ANL-THM-006、ANL-THM-007