求导四则运算

条件

设 $f,g:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0\in I$ 处可导（ANL-DEF-014）。

结论

下列函数在 $x_0$ 处均可导，并满足相应公式：

和差： $(f\pm g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\pm g^{\prime }(x_0).$

数乘：对常数 $c\in \mathbb{R}$， $(cf{)}^{\prime }(x_0)=c\cdot f^{\prime }(x_0).$

乘积（Leibniz 法则）： $(fg{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0).$

商：若进一步 $g(x_0)\ne 0$， ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g(x_0{)}^2}.$

几何/直觉理解

乘积法则最容易直觉化：把 $fg$ 看作一个矩形面积，边长分别是 $f,g$。 当 $x_0$ 微移 $\Delta x$，矩形面积增量近似为

$$\Delta (fg)\approx \underset{\text{右边长不变, 上沿增}}{\underbrace{f\cdot \Delta g}}+\underset{\text{下沿不变, 右边长增}}{\underbrace{g\cdot \Delta f}}+\underset{\text{角落小矩形, }o(\Delta x)}{\underbrace{\Delta f\cdot \Delta g}}.$$

除以 $\Delta x$ 取极限即得 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$。

商法则记忆口诀：「分母平方为分母，分子分母乘减分母分子乘」。 推导可由乘积法则 $(f/g)\cdot g=f$ 两边求导得到。

证明

仅证乘积法则；和差/数乘平凡，商可由乘积法则 + 链式法则推出。

证明（乘积法则）： 考察差商

$$\frac{(fg)(x_0+h)-(fg)(x_0)}{h}=\frac{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}.$$

加减项 $f(x_0)g(x_0+h)$：

$$=\frac{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0+h)+f(x_0)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}$$ $$=\underset{\to f^{\prime }(x_0)}{\underbrace{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}}\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot \underset{\to g^{\prime }(x_0)}{\underbrace{\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}}}.$$

由 ANL-THM-016，$g$ 在 $x_0$ 可导 ⇒ $g$ 连续 ⇒ $g(x_0+h)\to g(x_0)$。 由 ANL-THM-009 函数极限四则运算：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(fg)(x_0+h)-(fg)(x_0)}{h}=f^{\prime }(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0).■$$

常见错误

• ✗ 把乘积法则误写成 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$（“分别求导”）。 反例：$f(x)=g(x)=x$，则 $(x\cdot x{)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }=2x\ne 1\cdot 1=f^{\prime }{g}^{\prime }$。
• ✗ 商法则分子顺序错写为 $f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$。 正确顺序是 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$（“分子先求导在前”）。 记法：$(f/g{)}^{\prime }=f^{\prime }/g$ 的修正项是减去 $f{g}^{\prime }/g^2$。
• ✗ 应用商法则时遗漏 $g(x_0)\ne 0$ 条件。 若 $g(x_0)=0$，$f/g$ 在 $x_0$ 处可能根本无定义，公式失效。
• ✗ 对乘积法则证明中”加减 $f(x_0)g(x_0+h)$“的技巧不熟。 这是分析学常见的”加减项 + 重组”手法（与 ANL-THM-009 证明并行）， 目的是把双增量 $\Delta f\cdot \Delta g$ 拆为可控项。

推论与应用

• 推论：多项式 $p(x)=\sum a_k{x}^k$ 处处可导，$p^{\prime }(x)=\sum k{a}_k{x}^{k-1}$
• 推论：有理函数 $p/q$ 在 $q\ne 0$ 处可导
• 推论：归纳可得 ${\left({\prod }_{i=1}^n{f}_i\right)}^{\prime }={\sum }_{i=1}^n{f}_1\cdots f_i^{\prime }\cdots f_n$
• 与 ANL-THM-018 链式法则合用，可计算几乎一切初等函数的导数
• 应用：ANL-EX-008