极值（局部极大与局部极小）

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$x_0\in I$。

局部极大值（非严格）：若存在 $\delta >0$ 使得对一切 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap I$，

$$f(x)\le f(x_0),$$

则称 $f(x_0)$ 为 $f$ 的**（非严格）局部极大值**，$x_0$ 为局部极大值点。

严格局部极大值：若存在 $\delta >0$ 使得对一切 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap I$ 且 $x\ne x_0$，

$$f(x)<f(x_0),$$

则称为严格局部极大值。

把 $\le$ / $<$ 反向即得局部极小值与严格局部极小值。

极值统称局部极大与局部极小。

与相近概念的区别

概念	范围	关键差别
局部极大	$x_0$ 邻域内	仅与”附近”比较；可能存在更大值
全局（绝对）最大	整个定义域	$f(x_0)\ge f(x)$ 对所有 $x\in I$
严格 vs 非严格	—	是否允许 $f(x)=f(x_0)$ 在邻域内成立

全局极值一定是局部极值；反之不然。 ANL-THM-014 最值定理保证了闭区间连续函数的全局极值存在。

直觉理解

“局部”= 把视野缩小到 $x_0$ 周围的小邻域。 在这个小邻域里你看不到外面，仅凭眼前能判断 $x_0$ 是不是”附近最高 / 最低”。

几何上局部极大就是图像上的”一个山尖”（不一定是最高峰）， 局部极小就是”一个山谷”（不一定是最深谷）。

严格 vs 非严格：严格极值要求邻域内除 $x_0$ 外严格小于 $f(x_0)$， 图像在 $x_0$ 处是孤立的”尖”；非严格允许周围有”小平台”。 $f\equiv c$ 处处取非严格极大与极小，但没有任何严格极值。

链接

• 前置：ANL-DEF-012 函数连续（可去除连续性假设，但典型情形涉及）
• 关键定理：ANL-THM-020 Fermat 引理（内点极值 + 可导 ⇒ 导数为零）
• 全局极值的存在性保证：ANL-THM-014 最值定理
• 高阶判定：极值的二阶导数充分条件（Taylor 公式 ANL-THM-025 推论）

跨专业应用

• 优化理论：约束优化中，KKT 条件本质是 Fermat 引理在带约束情形的推广
• 经济学：消费者选择问题中”边际效用 = 0”的最优化条件即 Fermat 引理
• 物理：保守力场中势能局部极小处即稳定平衡位置，由 $\nabla V=0$ 与 Hessian 正定性刻画