Fermat 引理（内点极值的导数判定）

条件

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$x_0$ 是 $I$ 的内点，且：

1. $f$ 在 $x_0$ 处取得局部极值（ANL-DEF-018）；
2. $f$ 在 $x_0$ 处可导（ANL-DEF-014）。

结论

$f^{\prime }(x_0)=0$。

几何/直觉理解

切线斜率刻画”上行 / 下行”。在局部极大点，“附近都不比它高”—— 切线既不能往上倾斜（否则向右一点点函数值就更大）， 也不能往下倾斜（否则向左一点点更大）。 唯一相容的可能是切线水平，即 $f^{\prime }(x_0)=0$。

极小点对偶。内点条件确保有”两侧”可比较； 端点处函数可以单调而仍取得极值（如 $[a,b]$ 上 $f(x)=x$ 在右端 $b$ 取最大）， 端点导数（若存在则为单侧）可以非零。

证明

证明： 不妨设 $x_0$ 为局部极大点。由极值定义，$\exists \delta >0$ 使

$$\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap I:f(x)\le f(x_0).$$

由 $x_0$ 是 $I$ 的内点，可取 $\delta$ 充分小使 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )\subseteq I$。

右导数估计：对 $0<h<\delta$，$f(x_0+h)\le f(x_0)$，故

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0.$$

由 $f$ 在 $x_0$ 可导，左端有极限 $f^{\prime }(x_0)$。由极限保号性（ANL-THM-010），

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0.(\ast )$$

左导数估计：对 $-\delta <h<0$，$f(x_0+h)\le f(x_0)$，但 $h<0$，故

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0.$$

同理

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0.(\ast \ast )$$

由 $(\ast )$ 与 $(\ast \ast )$，$f^{\prime }(x_0)=0$。极小点情形对偶。$■$

常见错误

• ✗ 把 Fermat 引理逆用：”$f^{\prime }(x_0)=0\Rightarrow x_0$ 是极值点”。 反例：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(0)=0$，但 $f$ 在 $0$ 处既非极大也非极小（$x^3$ 严格递增）。 导数为零的点称为驻点，仅是极值的候选，不一定真是极值。
• ✗ 漏掉”内点”条件，对端点直接套用。 反例：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上，$x_0=1$ 是全局最大，但 $f^{\prime }(1)=1\ne 0$。 端点处通常只有单侧导数（ANL-DEF-016），结论需修改为 $f_{-}^{\prime }(b)\ge 0$ 或 $f_{+}^{\prime }(a)\le 0$。
• ✗ 漏掉”可导”假设，直接断言”极值点处导数为零”。 反例：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 处取最小，但 $f$ 在 $0$ 处不可导。 正确：极值点处或者 $f^{\prime }$ 不存在，或者 $f^{\prime }=0$——前者也是极值候选。

推论与应用

• 极值搜寻策略（极值候选三类）：
  1. 驻点：$f^{\prime }(x)=0$ 的内点
  2. 导数不存在的点（如 $|x|$ 的尖点 $x=0$）
  3. 定义域端点
• 直接推论：闭区间 $[a,b]$ 上连续 + 内部可导的函数，全局极值仅在上述三类点中取得
• 用于证明：ANL-THM-021 Rolle 定理（核心一步）

跨专业应用

• 优化理论：无约束极值的一阶必要条件 $\nabla f({\mathbf{x}}_0)=0$ 是 Fermat 引理的多元推广
• 经济学：利润 $\pi (q)=R(q)-C(q)$ 的极值点处 $R^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$，即”边际收益 = 边际成本”