链式法则与隐函数求导综合

题目

下列 4 道综合演示链式法则（ANL-THM-018）与隐函数求导的典型套路：

1. 多层复合：求 $f(x)=\sin (\cos (x^2))$ 的导数。
2. 隐函数求导：方程 $x^2+y^2=1$ 隐式定义 $y=y(x)$，求 $y^{\prime }(x)$ 与 $y^{\prime \prime }(x)$。
3. 对数复合：求 $f(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 的导数（即 ${\sinh }^{-1}x$ 的导数）。
4. 组合应用：$y=e^{\sin (x^2)}$，求 $y^{\prime }(0)$ 与 $y^{\prime \prime }(0)$。

分析

• 第 1 题：三层复合，依链式法则逐层求导——外、中、内三个因子相乘
• 第 2 题：方程两边对 $x$ 求导（把 $y$ 当作 $x$ 的函数，应用链式法则到 $y$ 项），解出 $y^{\prime }$； 二阶导对 $y^{\prime }$ 表达式再求导（继续把 $y$ 当作 $x$ 的函数）
• 第 3 题：先求 $\sqrt{x^2+1}$ 的导数（链式 + 平方根），再求 $\ln (\cdot )$ 的导数；化简验证
• 第 4 题：双层复合 $e^{\sin (x^2)}$，先求一阶导（链式），再代入 $x=0$；二阶导用乘积法则 + 链式

证明 / 解答

第 1 题：$f(x)=\sin (\cos (x^2))$

解： 三层复合 $f=h(g(k(x)))$，其中 $k(x)=x^2$, $g(u)=\cos u$, $h(v)=\sin v$。 由ANL-THM-018链式法则：

$$f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(k(x)))\cdot g^{\prime }(k(x))\cdot k^{\prime }(x)=\cos (\cos (x^2))\cdot (-\sin (x^2))\cdot 2x.$$ $$\boxed{f^{\prime }(x)=-2x\sin (x^2)\cos (\cos (x^2)).}$$

第 2 题：$x^2+y^2=1$，求 $y^{\prime }$ 与 $y^{\prime \prime }$

解（一阶）： 对方程两边对 $x$ 求导（把 $y=y(x)$）：

$$2x+2y\cdot y^{\prime }=0⟹y^{\prime }=-\frac{x}{y},(y\ne 0).$$

解（二阶）： 对 $y^{\prime }=-x/y$ 再对 $x$ 求导（用商法则 + 把 $y$ 看作 $x$ 的函数）：

$$y^{\prime \prime }=-\frac{1\cdot y-x\cdot y^{\prime }}{y^2}=-\frac{y-x{y}^{\prime }}{y^2}.$$

代入 $y^{\prime }=-x/y$：

$$y^{\prime \prime }=-\frac{y-x\cdot (-x/y)}{y^2}=-\frac{y+x^2/y}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{1}{y^3},$$

最后一步用了 $x^2+y^2=1$。

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{x}{y},y^{\prime \prime }=-\frac{1}{y^3}.}$$

几何验证：单位圆上点 $(x,y)$ 处切线斜率 $-x/y$ 与几何直观一致（半径 $\perp$ 切线，半径斜率 $y/x$，切线斜率 $-x/y$）。

第 3 题：$f(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

解： 设 $u(x)=x+\sqrt{x^2+1}$。先求 $u^{\prime }(x)$：

$$u^{\prime }(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

由链式法则：

$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

注意分子的 $\sqrt{x^2+1}+x$ 与分母的 $x+\sqrt{x^2+1}$ 相同，约去：

$$\boxed{f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.}$$

附注：此即反双曲正弦函数的导数，${\sinh }^{-1}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$。 与 $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ 对偶。

第 4 题：$y=e^{\sin (x^2)}$，求 $y^{\prime }(0),y^{\prime \prime }(0)$

解（一阶）： 设 $g(x)=\sin (x^2)$, $f(u)=e^u$。

$$y^{\prime }=e^{\sin (x^2)}\cdot \cos (x^2)\cdot 2x.$$

代入 $x=0$：

$$y^{\prime }(0)=e^0\cdot 1\cdot 0=0.$$

解（二阶）： 写 $y^{\prime }=2x\cos (x^2)e^{\sin (x^2)}$，应用ANL-THM-017乘积法则（三因子归纳到二因子嵌套）：

记 $A=2x$, $B=\cos (x^2)e^{\sin (x^2)}$。

$$y^{\prime \prime }=A^{\prime }B+A{B}^{\prime }.$$

• $A^{\prime }=2$
• $B=\cos (x^2)\cdot e^{\sin (x^2)}$，再用乘积法则 + 链式： $B^{\prime }=-\sin (x^2)\cdot 2x\cdot e^{\sin (x^2)}+\cos (x^2)\cdot e^{\sin (x^2)}\cdot \cos (x^2)\cdot 2x$ $=2x\cdot e^{\sin (x^2)}\cdot [{\cos }^2(x^2)-\sin (x^2)]$

代入 $x=0$（关键观察：含 $2x$ 的项均为 $0$）：

• $A^{\prime }(0)B(0)=2\cdot \cos 0\cdot e^{\sin 0}=2\cdot 1\cdot 1=2$
• $A(0)B^{\prime }(0)=0\cdot (\dots )=0$

故

$$\boxed{y^{\prime }(0)=0,y^{\prime \prime }(0)=2.}$$

$■$

关键技巧

• 逐层求导：多层复合时，从最外层开始逐层向内，每层”暂停”求导（外层 $\times$ 中层 $\times$ 内层）
• 隐函数求导双重身份：方程中的 $y$ 既是被解的量又是 $x$ 的函数——求导时两者都用
• 代数化简的契机：第 2 题用 $x^2+y^2=1$ 化简 $y^{\prime \prime }$；第 3 题用约分化简 $f^{\prime }$
• 代入特殊值：第 4 题在 $x=0$ 处计算时，含 $2x$ 因子的项立即归零，避免冗余计算

变式

• 变式 1：求 $f(x)=\tan (\sin (\sqrt{x}))$ 的导数（四层复合）
• 变式 2：方程 $e^{xy}+\sin (x+y)=x^2$ 求 $\frac{dy}{dx}$
• 变式 3：参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$（旋轮线）求 $\frac{dy}{dx}$ 与 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
• 变式 4：对数求导法：求 $y=x^x$（$x>0$）的导数。 提示：取对数 $\ln y=x\ln x$，两边对 $x$ 求导（左边用链式 + 隐函数）

链接

• 演示定理：ANL-THM-018 链式法则
• 配合：ANL-THM-017 求导四则、ANL-EX-008 用定义求初等函数导数
• 后续：（待建）反三角函数导数综合