复合函数求导（链式法则）

条件

设：

• $g:I\to J$ 在 $x_0\in I$ 处可导（ANL-DEF-014）；
• $f:J\to \mathbb{R}$ 在 $u_0:=g(x_0)\in J$ 处可导。

结论

复合函数 $h:=f\circ g$（即 $h(x)=f(g(x))$）在 $x_0$ 处可导，且

$$h^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0).$$

Leibniz 记号下："$\frac{dh}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$"——形式上”$du$ 抵消”。

几何/直觉理解

链式法则把”复合的瞬时变化率”分解为外函数变化率 $\times$ 内函数变化率。

类比传动：$g$ 是齿轮 1，把 $x$ 的转动以倍率 $g^{\prime }(x_0)$ 传给 $u$； $f$ 是齿轮 2，把 $u$ 的转动以倍率 $f^{\prime }(u_0)$ 传给最终输出。 总倍率即两级倍率相乘。

物理画面：若 $u(x)$ 是温度随高度变化、$f(u)$ 是某物理量随温度变化， 则 $f(u(x))$ 关于高度的瞬时变化率 = “随温度的变化率” $\times$ “温度随高度的变化率”。

证明

证明： 设 $\Delta x\ne 0$ 充分小，记 $\Delta u:=g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$。

情形 1：$\Delta x\to 0$ 时存在 $\delta >0$，$0<|\Delta x|<\delta \Rightarrow \Delta u\ne 0$。

直接代入差商：

$$\frac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}=\frac{f(g(x_0)+\Delta u)-f(g(x_0))}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}.$$

由 ANL-THM-016，$g$ 在 $x_0$ 可导 ⇒ $g$ 连续 ⇒ $\Delta u\to 0$ 当 $\Delta x\to 0$。 因此

• $\frac{f(g(x_0)+\Delta u)-f(g(x_0))}{\Delta u}\to f^{\prime }(u_0)$（由 $f$ 在 $u_0$ 可导）
• $\frac{\Delta u}{\Delta x}\to g^{\prime }(x_0)$（由 $g$ 在 $x_0$ 可导）

由 ANL-THM-009 极限的乘积法则得 $h^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(u_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$。

情形 2：在每个 $\Delta x\to 0$ 的邻域内都存在 $\Delta x\ne 0$ 使 $\Delta u=0$。

此情形在严格证明中需单独处理（情形 1 的写法会出现 $0/0$）。 引入函数

$$\phi (u):=\{\begin{array}{ll}\frac{f(u_0+u)-f(u_0)}{u}-f^{\prime }(u_0),& u\ne 0\\ 0,& u=0\end{array}$$

由 $f$ 在 $u_0$ 可导，${\lim }_{u\to 0}\phi (u)=0$。可写

$$f(u_0+u)-f(u_0)=u\cdot (f^{\prime }(u_0)+\phi (u)),$$

此式对 $u=0$ 也成立。 取 $u=\Delta u$：

$$h(x_0+\Delta x)-h(x_0)=\Delta u\cdot (f^{\prime }(u_0)+\phi (\Delta u)).$$

除以 $\Delta x$ 取极限（$\Delta u\to 0\Rightarrow \phi (\Delta u)\to 0$）：

$$h^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)\cdot (f^{\prime }(u_0)+0)=f^{\prime }(u_0)\cdot g^{\prime }(x_0).■$$

常见错误

• ✗ 漏掉外函数对内函数值 $g(x_0)$ 求值，写成 $h^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$。 反例：$h(x)=\sin (x^2)$，$g(x)=x^2$，$f(u)=\sin u$。 正确：$h^{\prime }(x)=\cos (x^2)\cdot 2x$；错误写法会得 $\cos x\cdot 2x$。
• ✗ 把 Leibniz 记号 $\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ 当作”分式相乘”严肃对待。 这是助记符；严格证明中差商比 $\Delta u/\Delta x$ 不一定与导数比相等， 必须用上文情形 2 的辅助函数 $\phi$ 处理 $\Delta u=0$ 的情形。
• ✗ 多层复合时漏链。$h(x)=f(g(k(x)))$ 时正确公式为 $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(k(x)))\cdot g^{\prime }(k(x))\cdot k^{\prime }(x)$，三个因子全部要算。
• ✗ 把链式法则与乘积法则混用。$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 不是复合函数， 应用 ANL-THM-017 乘积法则 $h^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ 而非链式法则。

推论与应用

• 推论：反函数求导（ANL-DEF-014 推广，详见 ANL-THM-019，待建）
• 推论：隐函数求导
• 推论：参数方程求导 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• 与 ANL-THM-017 求导四则一道，覆盖几乎一切初等函数求导

跨专业应用

• 深度学习：神经网络反向传播本质是多层链式法则，将损失函数对输出层的梯度 一层一层地”传”到输入层
• 物理：温度场 $T(x,y,z)$ 沿轨迹 $\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))$ 的变化率 $\frac{dT}{dt}=T_x\dot{x}+T_y\dot{y}+T_z\dot{z}$（多元链式法则）
• 优化：梯度下降法的更新规则用到链式法则的多元版本