用 Lagrange 中值定理证明经典不等式

题目

用 ANL-THM-022 Lagrange 中值定理证明下列经典不等式：

1. 对数夹逼：对一切 $x>0$， $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x.$
2. 正弦 Lipschitz：对任意 $a,b\in \mathbb{R}$， $|\sin a-\sin b|\le |a-b|.$
3. 指数线性下界：对一切 $x\ne 0$， $e^x>1+x.$

分析

每题的核心思路相同：把不等式两端写成 $f(b)-f(a)$ 形式，再用 Lagrange 把它换成 $f^{\prime }(\xi )(b-a)$，对 $\xi$ 所在区间估计 $f^{\prime }$ 的范围。

• 第 1 题：$\ln (1+x)-\ln 1=\ln (1+x)$，对应 $f(t)=\ln (1+t)$ 在 $[0,x]$ 上
• 第 2 题：差直接套用 $f(t)=\sin t$，由 $|\cos |\le 1$ 得 Lipschitz 常数 $1$
• 第 3 题：$e^x-1=e^x-e^0$，对应 $f(t)=e^t$ 在 $[0,x]$ 或 $[x,0]$； 关键是分 $x>0$ 与 $x<0$ 讨论 $\xi$ 所处位置

证明 / 解答

第 1 题：$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$（$x>0$）

证明： 设 $f(t)=\ln (1+t)$，$t\in [0,x]$。$f$ 连续可导，$f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}$。

由 ANL-THM-022 Lagrange 中值定理，$\exists \xi \in (0,x)$ 使

$$\ln (1+x)-\ln 1=f^{\prime }(\xi )\cdot (x-0)=\frac{x}{1+\xi }.$$

由 $0<\xi <x$，

$$1<1+\xi <1+x⟹\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+\xi }<1.$$

两端乘以 $x>0$：

$$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi }<x.$$

代入 Lagrange 等式即得 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。$■$

第 2 题：$|\sin a-\sin b|\le |a-b|$

证明： 不妨 $a\ne b$（$a=b$ 平凡）。设 $f(t)=\sin t$，应用 Lagrange 于 $[\min (a,b),\max (a,b)]$：

$$\exists \xi \text{ 介于 }a,b\text{ 之间}:\sin a-\sin b=\cos \xi \cdot (a-b).$$

由 $|\cos \xi |\le 1$，

$$|\sin a-\sin b|=|\cos \xi |\cdot |a-b|\le |a-b|.■$$

拓展：本不等式说明 $\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上 Lipschitz 连续，Lipschitz 常数为 $1$。 由此推出 $\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续（ANL-DEF-024）—— 这是另一个独立证明，与 Cantor 定理形成对比（Cantor 仅适用于闭区间，$\sin$ 整个 $\mathbb{R}$ 上的一致连续来自 Lipschitz）。

第 3 题：$e^x>1+x$（$x\ne 0$）

证明： 设 $f(t)=e^t$。$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，$f^{\prime }(t)=e^t$。

情形 1：$x>0$。Lagrange 于 $[0,x]$：$\exists \xi \in (0,x)$ 使

$$e^x-1=e^x-e^0=e^{\xi }\cdot x.$$

由 $\xi >0$，$e^{\xi }>e^0=1$。故 $e^x-1=e^{\xi }\cdot x>1\cdot x=x$，即 $e^x>1+x$。

情形 2：$x<0$。Lagrange 于 $[x,0]$：$\exists \xi \in (x,0)$ 使

$$e^0-e^x=e^{\xi }\cdot (0-x)⟹e^x-1=-e^{\xi }\cdot (-x)=e^{\xi }\cdot x.$$

由 $\xi <0$，$e^{\xi }<1$。又 $x<0$，故 $e^{\xi }\cdot x>1\cdot x=x$（“较小的正数乘负数得较大的负数”）。 即 $e^x-1>x$，亦即 $e^x>1+x$。

合并两情形：$e^x>1+x$ 对一切 $x\ne 0$ 成立。$■$

关键技巧

• 构造 $f(b)-f(a)$ 形式：把不等式中的”对数 / 三角 / 指数”识别为某可导函数在端点的差
• 估计 $\xi$ 范围内 $f^{\prime }$ 的取值：$\xi$ 不可指定，但其所在的区间确定，故 $f^{\prime }(\xi )$ 有明确的上下界
• 正负号讨论：第 3 题 $x$ 正负影响 $\xi$ 范围与不等号方向，必须分情形
• 强弱不等式区分：本例三题都是严格不等（$\xi$ 是开区间内点，$f^{\prime }$ 严格递增/有界）

变式

• 变式 1（第 1 题加强）：证明对一切 $-1<x<0$， $\frac{x}{1+x}>\ln (1+x)>x$（不等号方向反转！） 提示：当 $x<0$ 时 $\xi \in (x,0)$，$1+\xi \in (1+x,1)\subset (0,1)$，$1/(1+\xi )>1$。

• 变式 2：证明 $\arctan x<x$（$x>0$）。提示：$f(t)=\arctan t$，$f^{\prime }(t)=1/(1+t^2)<1$（$t>0$）。

• 变式 3：证明对 $0<a<b$，$\frac{b-a}{b}<\ln \frac{b}{a}<\frac{b-a}{a}$。 提示：$\ln (b/a)=\ln b-\ln a$，对 $\ln$ 用 Lagrange。

• 变式 4：证明对 $x>0$，$\frac{x}{1+x}\le 1-e^{-x}\le x$。 提示：对 $f(t)=1-e^{-t}$ 用 Lagrange 或直接用第 3 题 $e^x\ge 1+x$ 改写。

链接

• 演示定理：ANL-THM-022 Lagrange 中值定理
• 进阶：ANL-THM-025 Taylor 公式给出更精细的不等式（更高阶余项）
• 应用：ANL-PROB-012、ANL-PROB-013、ANL-PROB-014