Rolle 与 Lagrange 中值定理综合应用

题目

1. 函数估计：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、$(a,b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$，$|f^{\prime }(x)|\le M$ 在 $(a,b)$ 上恒成立。证明 $|f(x)|\le \frac{M(b-a)}{2},\forall x\in [a,b].$
2. 零点夹逼：设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导。证明 $f$ 与 $f^{\prime }$ 的零点”交错”—— 若 $f(x_1)=f(x_2)=0$（$x_1<x_2$），则 $f^{\prime }$ 在 $(x_1,x_2)$ 内至少有一个零点。 用此推出：若 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $k$ 个零点，则 $f^{\prime }$ 至少有 $k-1$ 个零点。
3. 多项式根数判定：证明 $p(x)=x^3-3x+a$（$a\in \mathbb{R}$ 为常数）在 $\mathbb{R}$ 上至多 $3$ 个实根，并讨论 $a$ 取值与实根个数的对应。

提示

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• 第 1 题：固定 $x\in (a,b)$，对 $[a,x]$ 和 $[x,b]$ 分别用 ANL-THM-022 Lagrange， 把 $|f(x)|$ 表为两个端点处的差分形式，再夹逼。结论中的 $(b-a)/2$ 暗示对两段距离取最小。
• 第 2 题：直接套用 ANL-THM-021 Rolle 定理。
• 第 3 题：反证 + Rolle。若 $p$ 有 $\ge 4$ 个实根，则 $p^{\prime }$ 至少 $\ge 3$ 个；但 $p^{\prime }(x)=3x^2-3$ 至多 $2$ 个实根，矛盾。 实根数随 $a$ 的讨论用 $p$ 的极值（ANL-DEF-018）。

解答

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第 1 题：$|f(x)|\le M(b-a)/2$

证明：固定 $x\in (a,b)$。对 $[a,x]$ 应用 ANL-THM-022 Lagrange： $\exists {\xi }_1\in (a,x)$ 使 $f(x)-f(a)=f^{\prime }({\xi }_1)(x-a)$。代入 $f(a)=0$：

$$|f(x)|=|f^{\prime }({\xi }_1)|\cdot (x-a)\le M(x-a).(\ast )$$

对 $[x,b]$ 应用 Lagrange：$\exists {\xi }_2\in (x,b)$ 使 $f(b)-f(x)=f^{\prime }({\xi }_2)(b-x)$。代入 $f(b)=0$：

$$|f(x)|=|f^{\prime }({\xi }_2)|\cdot (b-x)\le M(b-x).(\ast \ast )$$

合并 $(\ast )$ 与 $(\ast \ast )$：

$$|f(x)|\le M\min (x-a,b-x).$$

由几何观察（或 AM-GM），$\min (x-a,b-x)\le \frac{(x-a)+(b-x)}{2}=\frac{b-a}{2}$。

故 $|f(x)|\le M(b-a)/2$。在端点 $x=a$ 或 $b$，$|f|=0\le M(b-a)/2$。$■$

强化版（紧致估计）：本题的最优常数 $M(b-a)/2$ 在 $f(x)=M\cdot \frac{(x-a)(b-x)}{(b-a)/2\cdot \text{合适缩放}}$ 这种”屋顶函数”上达到——但严格紧致估计需 Taylor 展开（ANL-THM-025）。

第 2 题：零点交错

证明：由 $f(x_1)=f(x_2)=0=$ 两端值相等，且 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续、$(x_1,x_2)$ 内可导， ANL-THM-021 Rolle 定理给出 $\exists \xi \in (x_1,x_2)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

推广（$k$ 个零点 ⇒ $f^{\prime }$ 至少 $k-1$ 个零点）：设 $f$ 的 $k$ 个零点按升序为 $x_1<x_2<\cdots <x_k$。 对每个相邻对 $(x_i,x_{i+1})$（$i=1,\dots ,k-1$）应用 Rolle，得 $f^{\prime }$ 在 $(x_i,x_{i+1})$ 内有零点 ${\xi }_i$。 ${\xi }_1<{\xi }_2<\cdots <{\xi }_{k-1}$ 互不相同（位于不交的区间内），故 $f^{\prime }$ 至少有 $k-1$ 个不同零点。$■$

第 3 题：$p(x)=x^3-3x+a$ 至多 $3$ 实根

证明（至多 $3$ 实根）：反证，假设 $p$ 有 $\ge 4$ 个实根。由第 2 题推论，$p^{\prime }$ 至少有 $3$ 个实根。 但 $p^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，恰好 $2$ 个实根 $\pm 1$。矛盾。故 $p$ 至多 $3$ 实根。$■$

实根个数随 $a$ 的讨论：求 $p$ 的极值。$p^{\prime }(x)=0⟺x=\pm 1$。

$x$	$p(x)$	类型
$x=-1$	$-1+3+a=2+a$	局部极大（$p^{\prime \prime }=6x=-6<0$）
$x=1$	$1-3+a=-2+a$	局部极小（$p^{\prime \prime }=6>0$）

$p(\pm \infty )=\pm \infty$（三次多项式首项系数为正）。结合极值，$p$ 的实根个数：

条件	实根数	几何
$a>2$（极大值 $<0$）	1	极大极小都 $<0$，仅在 $+\infty$ 一侧穿过 $x$ 轴
$a=2$（极大值 $=0$）	2（其中 $x=-1$ 重根）	极大值正好触轴
$-2<a<2$	3	极大 $>0$，极小 $<0$，三处穿轴
$a=-2$（极小值 $=0$）	2（$x=1$ 重根）	极小正好触轴
$a<-2$	1	极大极小都 $>0$

推论：方程 $x^3-3x=c$（$c=-a$）有三个实根 $⟺|c|<2$。$■$

考察点

• ANL-THM-021 Rolle 定理在零点夹逼中的标准应用
• ANL-THM-022 Lagrange 中值定理的”双向 Lagrange”技巧（第 1 题）
• 反证 + Rolle 用于多项式根数估计
• 极值分析与方程求根的综合（第 3 题）

备注

中值定理在不等式与方程理论中的工具图谱：

         证明等式             证明不等式             根数估计
            │                    │                     │
  ┌─────────┴──────────┐         │                     │
  │                    │         │                     │
单点 ξ：Lagrange    比例 ξ：Cauchy     |f'| 上界估计     反证 + Rolle
                                   ↓
                            Lipschitz 估计 / 误差控制