Taylor 公式综合应用

题目

1. Taylor 求极限：用 Taylor 展开求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}.$
2. 误差估计：用 Taylor 公式计算 $\sin (0.1)$ 至 $7$ 位有效数字（即误差 $<10^{-7}$），并给出严格误差上界。
3. 不等式证明：证明对一切 $x\ge 0$， $e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.$

提示

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• 第 1 题：把 $e^x$ 展开到 $x^3$ 阶（含 Peano 余项 $o(x^3)$，ANL-THM-025 Peano 形式即可），分子化简。
• 第 2 题：$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$。用ANL-THM-025 Lagrange 余项给误差严格上界：取展开到 $x^3$ 阶，$R_4(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{x}^4$。注意 $\sin$ 的奇偶性使 4 阶余项实质上是 $x^5$ 项。
• 第 3 题：用 Lagrange 余项形式 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^{\xi }}{6}{x}^3$，对 $x\ge 0$ 余项非负即可。

解答

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第 1 题：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}=\frac{1}{6}$

解：由ANL-THM-025 Peano 形式，$e^x$ 在 $0$ 处展开到 $x^3$ 阶：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)(x\to 0).$$

代入分子：

$$e^x-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

故

$$\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}=\frac{1}{6}+\frac{o(x^3)}{x^3}\to \frac{1}{6}+0=\frac{1}{6}.■$$

对比 L’Hospital 法则：本题用 ANL-THM-024 L’Hospital 需求导 $3$ 次， Taylor 仅展开一次得到答案——这是 Taylor 处理”高阶 $0/0$“型的优势。

第 2 题：$\sin (0.1)$ 至 $7$ 位精度

解：取 $f(x)=\sin x$ 在 $0$ 处 Taylor 展开到 $x^3$ 阶（含 Lagrange 余项）：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{x}^4$$

其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。$f^{(4)}(t)=\sin t$，故 $|f^{(4)}(\xi )|=|\sin \xi |\le 1$。

因此

$$\left|\sin (0.1)-\left(0.1-\frac{0.001}{6}\right)\right|\le \frac{1}{24}\cdot (0.1{)}^4=\frac{10^{-4}}{24}\approx 4.17\times 10^{-6}.$$

精度不足！ 升至 $x^5$ 阶展开（$\sin$ 奇函数，$x^4$ 项系数为 $0$，故”展到 $x^3$ 余项实质 $\sim x^5$”。 但严格地用 Lagrange 余项需直接展开到含 $x^5$ 阶）：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+R_5(x),R_5(x)=\frac{f^{(6)}(\xi )}{6!}{x}^6,$$

$|f^{(6)}(\xi )|=|\sin \xi |\le 1$，故

$$|R_5(0.1)|\le \frac{(0.1{)}^6}{720}\approx 1.39\times 10^{-9}.$$

计算近似值：

$$\sin (0.1)\approx 0.1-\frac{0.001}{6}+\frac{10^{-5}}{120}=0.1-0.00016667+0.000000083\approx 0.09983342.$$

严格误差上界：$|\sin (0.1)-0.09983342|<1.4\times 10^{-9}<10^{-7}$。

故 $\sin (0.1)\approx 0.0998334$（保留 $7$ 位）。$■$

关键观察：用 Lagrange 余项时，展开阶数不一定要凑齐到目标阶数—— 对奇 / 偶函数，可”跳过”某些项利用对称性获得更紧的余项估计。 实务中常采用”展到下一个非零项 + 估其后余项”。

第 3 题：$e^x\ge 1+x+x^2/2$（$x\ge 0$）

证明：由ANL-THM-025 Lagrange 余项形式（$n=2$）：$\exists \xi \in (0,x)$ 使

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^{\xi }}{6}{x}^3.$$

由 $\xi \ge 0$，$e^{\xi }\ge 1>0$；又 $x\ge 0$ 故 $x^3\ge 0$。 因此余项 $\frac{e^{\xi }}{6}{x}^3\ge 0$。

代入：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\underset{\ge 0}{\underbrace{\frac{e^{\xi }}{6}{x}^3}}\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.■$$

推广：对一切 $x\ge 0$，$e^x\ge \sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$。 同理 $x\le 0$ 时方向反转奇偶——证明留作变式。

考察点

• ANL-THM-025 Peano 余项用于求极限（处理高阶 $0/0$）
• ANL-THM-025 Lagrange 余项用于严格的误差估计
• 对奇 / 偶函数 Taylor 展开的对称性观察（节省余项阶数）
• Lagrange 余项的非负性 ⇒ 不等式（第 3 题模式）

备注

Taylor 公式的两种用法：

形式	用途	关键
Peano 余项 $o((x-x_0{)}^n)$	求极限、渐近行为	”$o(\cdot )$ 的代数运算”
Lagrange 余项 $\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$	误差估计、不等式证明	”找 $\sup \Vert f^{(n+1)}\Vert$”

对比 L’Hospital 法则与 Taylor：

	L’Hospital	Taylor
适用	$0/0$, $\infty /\infty$	$0/0$（高阶尤佳）
计算量	重复求导 $k$ 次	一次展开 $k$ 阶
直观性	弱	强（看到主导项）
不等式证明	不擅长	擅长（余项控制）
处理振荡分母	失败（$x^2\sin (1/x)$ 反例）	同样需小心