Rolle 定理

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（ANL-DEF-012）；
2. $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导（ANL-DEF-014）；
3. $f(a)=f(b)$。

结论

存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

几何/直觉理解

“曲线起点 = 终点” + “曲线光滑” ⇒ 曲线至少有一处水平切线。

若曲线一直上升，终点必高于起点；若一直下降，终点必低于起点。 既然起点 = 终点，曲线必”上去过又下来”或”下去过又上来”—— 在转折之处切线水平。

严格地说，闭区间上连续函数取到最大与最小（ANL-THM-014）； 若两者都在端点取得，则 $\max =\min =f(a)=f(b)$，函数为常数； 否则至少一个内点是极值点，由 ANL-THM-020 Fermat 引理得导数为零。

证明

证明： 由 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由 ANL-THM-014 最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值 $M$ 与最小值 $m$。

情形 1：$M=m$。 $f$ 在 $[a,b]$ 上恒为常数。任取 $\xi \in (a,b)$，$f^{\prime }(\xi )=0$。

情形 2：$M>m$。 至少有一个 $M$ 或 $m$ 在 $(a,b)$ 内的某点取得（否则 $M,m$ 都在端点 $a,b$ 取得， 但 $f(a)=f(b)$ 意味着 $M=m=f(a)=f(b)$，与 $M>m$ 矛盾）。

设 $\xi \in (a,b)$ 是 $M$（或 $m$）的取得点。$\xi$ 是局部极值点（事实上是全局极值）， 由条件 2，$f$ 在 $\xi$ 可导。由 ANL-THM-020 Fermat 引理，$f^{\prime }(\xi )=0$。$■$

常见错误

• ✗ 漏掉"$f(a)=f(b)$"条件。 反例：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，但 $f^{\prime }(\xi )=1\ne 0$ 处处成立。
• ✗ 把”$(a,b)$ 内可导”放宽为”$[a,b]$ 上可导”。 原条件已经”够弱”——端点处不要求可导，只要求连续。这允许更广的应用范围 （如 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 在 $[-1,1]$ 上：端点处导数无穷，但内部仍可导）。
• ✗ 误以为 $\xi$ 唯一。 反例：$f(x)=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上，$f(0)=f(2\pi )=0$， $f^{\prime }(\xi )=\cos \xi =0$ 在 $\xi =\pi /2$ 与 $\xi =3\pi /2$ 都成立。 定理仅断言 $\xi$ 存在，不保证唯一。
• ✗ 漏掉”连续”假设。 反例：$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [0,1)\\ 0,& x=1\end{array}$ 在 $[0,1]$ 上 $f(0)=f(1)=0$， 内部可导（$f^{\prime }\equiv 1$），但 $1$ 处不连续，不存在 $\xi$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

推论与应用

• 直接推广：ANL-THM-022 Lagrange 中值定理（去掉 $f(a)=f(b)$ 条件）
• 进一步推广：ANL-THM-023 Cauchy 中值定理（参数化版本）
• 多重根判定：若多项式 $p(x)$ 有 $k$ 重根 $r$，则 $p^{\prime }(x)$ 有 $k-1$ 重根 $r$
• 零点分离：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有两个不同零点 $x_1,x_2$，则 $f^{\prime }$ 在 $(x_1,x_2)$ 内至少有一个零点

跨专业应用

• 数值分析：用于估计 Newton 法收敛性中导数为零情形的处理
• 工程：周期性系统在一个完整周期内（位置回到起点）必存在瞬时速度为零的时刻