L'Hospital 法则

条件与结论

形式 1（$\frac{0}{0}$ 型）

条件：设 $f,g$ 在 $(a,b)$（$a$ 可为 $-\infty$）内可导，且：

1. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0$；
2. $g^{\prime }(x)\ne 0$ 在 $(a,b)$ 上恒成立；
3. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$（$L\in \mathbb{R}\cup \{+\infty ,-\infty \}$）。

结论：

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L.$$

形式 2（$\frac{\infty }{\infty }$ 型）

条件：把上面条件 1 替换为 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=+\infty$（或 $-\infty$），其余不变。

结论：同上。

双侧极限 $x\to a$、$x\to \pm \infty$ 等情形可类推；只需把条件中的单侧极限改成对应形式。

几何/直觉理解

当 $x\to a$ 时 $f\to 0$ 且 $g\to 0$，$f/g$ 的”局部行为”由两者接近 $0$ 的速度决定。

一阶 Taylor（ANL-THM-025）告诉我们： $f(x)\approx f^{\prime }(a)(x-a)$ 与 $g(x)\approx g^{\prime }(a)(x-a)$（设 $f,g$ 在 $a$ 处可导且 $f(a)=g(a)=0$）。 故

$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx \frac{f^{\prime }(a)(x-a)}{g^{\prime }(a)(x-a)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}.$$

“比的极限 = 导数比的极限”——这就是 L’Hospital 的直觉。

法则的强大在于不要求 $f,g$ 在 $a$ 处可导甚至有定义—— 仅需要 $f^{\prime }/g^{\prime }$ 的极限存在即可，证明用 Cauchy 中值定理。

证明

形式 1 证明（$0/0$ 型，$a$ 有限，$L$ 有限）

证明： 由条件 1，可把 $f,g$ 连续延拓到 $[a,b)$，定义 $f(a)=g(a)=0$（这两个点的连续延拓由极限存在性保证）。

对任一 $x\in (a,b)$，$f,g$ 在 $[a,x]$ 上连续、在 $(a,x)$ 内可导，且 $g^{\prime }$ 在 $(a,x)$ 内不为零。 由 ANL-THM-023 Cauchy 中值定理，$\exists \xi \in (a,x)$ 使

$$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$

代入 $f(a)=g(a)=0$：

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$

当 $x\to a^{+}$，由 $a<\xi <x$，由夹逼 $\xi \to a^{+}$。 由条件 3，$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}\to L$。故

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L.■$$

当 $a=-\infty$、$L=\pm \infty$、或 $\infty /\infty$ 型时，证明需作适当修改但思路相同。 详见教材 §6.2。

常见错误

• ✗ 盲目套用：未先验证条件就求导分子分母。 反例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x+1}=\frac{0}{1}=0$。这不是 $0/0$ 型！ 错误用 L’Hospital 得 $\frac{\cos x}{1}\to 1\ne 0$。
• ✗ 重复套用直至发散。 反例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\sin (1/x)}{\sin x}$ 是 $0/0$ 型，但 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}=\frac{2x\sin (1/x)-\cos (1/x)}{\cos x}$，分子在 $0$ 处极限不存在（$\cos (1/x)$ 振荡）。 此时 L’Hospital 结论不成立——但原极限实际为 $0$（用 $\sin x\sim x$ 与夹逼）。 这说明法则的条件 3 是必要的：导数比极限不存在时不能反推原极限不存在。
• ✗ 用于”非不定式”。 L’Hospital 仅处理 $0/0$ 与 $\infty /\infty$ 两种不定式（其他不定式如 $0\cdot \infty$、$\infty -\infty$、$1^{\infty }$ 需先化为这两种）。
• ✗ 漏掉 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 条件。 反例：取 $g(x)=x^2\sin (1/x)$（$x\ne 0$, $g(0)=0$）。$g^{\prime }$ 在 $0$ 任何邻域内有零点， L’Hospital 不适用，需另寻方法。

推论与应用

• 常见不定式转化：

  不定式	转为
  $0\cdot \infty$	$\frac{0}{1/\infty }=\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{1/0}$
  $\infty -\infty$	通分为 $\frac{\cdots }{\cdots }$
  $1^{\infty }$, $0^0$, ${\infty }^0$	取对数化为 $0\cdot \infty$

• 重要极限的快速验证：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\lim \frac{\cos x}{1}=1$（条件满足）； $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\lim \frac{e^x}{1}=1$

• 替代方法：很多 $0/0$ 型用 ANL-THM-025 Taylor 展开更直观且免重复求导

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数、ANL-DEF-008 函数极限、ANL-THM-023 Cauchy 中值定理
• 关联：ANL-THM-025 Taylor 公式（很多 L’Hospital 题用 Taylor 更快）

跨专业应用

• 数值分析：奇异函数（如 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $0$ 处）的连续延拓与数值稳定计算
• 物理：临界过程的极限行为，如电阻 $R\to 0$ 时电流的极限分析