换元积分典型范例

题目

用ANL-THM-033换元积分法计算下列积分：

1. 凑微分（第一类）：$\int 2x{e}^{x^2}dx$
2. 三角代换（第二类）：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$
3. 三角代换：$\int \frac{1}{1+x^2}dx$
4. 倒代换：$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}(x>1)$

分析

识别换元类型：

• 第 1 题：被积函数中 $2x$ 是 $x^2$ 的导数 ⇒ 凑微分 $u=x^2$
• 第 2 题：$\sqrt{1-x^2}$ 形式 ⇒ 三角代换 $x=\sin t$ 令 $1-x^2={\cos }^{2}t$
• 第 3 题：$1+x^2$ 形式 ⇒ 三角代换 $x=\tan t$ 令 $1+x^2={\sec }^{2}t$
• 第 4 题：$\sqrt{x^2-1}$ 形式 + $1/x$ 因子 ⇒ 倒代换 $x=1/t$（避免 $\sec$ 代换的繁琐）

证明 / 解答

第 1 题：$\int 2x{e}^{x^2}dx$

解： 令 $u=x^2$，则 $du=2xdx$。直接代入：

$$\int 2x{e}^{x^2}dx=\int e^{u}du=e^u+C=e^{x^2}+C.■$$

第 2 题：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$

解： 令 $x=\sin t$，$t\in [0,\pi /2]$，$dx=\cos tdt$。

上下限：$x=0\mapsto t=0$；$x=1\mapsto t=\pi /2$。

化简被积函数：$\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=|\cos t|=\cos t$（$t\in [0,\pi /2]\Rightarrow \cos t\ge 0$）。

代入：

$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\pi /2}\cos t\cdot \cos tdt={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt.$$

用 ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$：

$$={\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt={\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{4}+0=\frac{\pi }{4}.■$$

几何验证：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ 是单位圆第一象限部分的面积 $=\pi /4$ ✓

第 3 题：$\int \frac{dx}{1+x^2}$

解： 令 $x=\tan t$，$t\in (-\pi /2,\pi /2)$，$dx={\sec }^{2}tdt$。

$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\int \frac{{\sec }^{2}tdt}{1+{\tan }^{2}t}=\int \frac{{\sec }^{2}t}{{\sec }^{2}t}dt=\int dt=t+C=\arctan x+C.■$$

第二种解法（直接由原函数表）：$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，故 $\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ ✓ 本题展示了”反证”——通过换元法重新发现 $\arctan$ 为什么是 $\frac{1}{1+x^2}$ 的原函数。

第 4 题：$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$（$x>1$）

解（倒代换）：令 $x=\frac{1}{t}$，$t\in (0,1)$，$dx=-\frac{1}{t^2}dt$。

化简：

$$x^2-1=\frac{1}{t^2}-1=\frac{1-t^2}{t^2},\sqrt{x^2-1}=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}(t>0).$$ $$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{(1/t)\cdot \sqrt{1-t^2}/t}=\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}.$$

代入：

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\arcsin t+C.$$

回代 $t=1/x$：

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=-\arcsin \frac{1}{x}+C.■$$

检验：$\frac{d}{dx}\left[-\arcsin \frac{1}{x}\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-1/x^2}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2\sqrt{1-1/x^2}}=\frac{1}{x^2\cdot \sqrt{x^2-1}/|x|}=\frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$（$x>0$）✓

替代答案：$-\arcsin (1/x)=\text{arcsec}(x)-\pi /2$ 也可写作 $\text{arcsec}(x)+C^{\prime }$。

关键技巧

• 凑微分识别”$g^{\prime }(x)$ 因子”：若被积函数包含 $g(x)$ 与 $g^{\prime }(x)$，立即考虑 $u=g(x)$
• 三角代换的诱因：被积函数含 $\sqrt{a^2\pm x^2}$ 或 $\sqrt{x^2-a^2}$

  形式	代换	三角恒等式
  $\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$1-{\sin }^2={\cos }^2$
  $\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$1+{\tan }^2={\sec }^2$
  $\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$（或倒代换）	${\sec }^2-1={\tan }^2$

• 倒代换 $x=1/t$ 的适用场景：被积函数含 $\frac{1}{x^k}$ 因子且换元后简化（如第 4 题）
• 回代检查：定积分直接换上下限；不定积分最后回代回原变量

变式

• 变式 1：$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx$。提示：分子是分母的导数，凑微分 $u=x^2+x+1$
• 变式 2：$\int \sqrt{4-x^2}dx$。提示：$x=2\sin t$
• 变式 3：$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$。提示：$x=2\tan t$，结果含反双曲函数 ${\sinh }^{-1}$
• 变式 4：${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$（$a>0$）。提示：$x=a\sin t$，结果 $\pi a^2/4$（圆面积四分之一）

链接

• 演示定理：ANL-THM-033 换元积分法
• 配合定理：ANL-THM-032 N-L 公式（用于定积分）
• 后续：ANL-EX-013 分部积分典型范例