Newton–Leibniz 公式（微积分基本定理）

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）；
2. 存在 $f$ 的一个原函数 $F$（ANL-DEF-028）：即 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 对 $x\in (a,b)$ 成立。

结论

Newton–Leibniz 公式（也称为微积分基本定理 Part 2）：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

习惯记号：$F(b)-F(a)$ 简写为 $F(x){|}_a^b$ 或 $[F(x){]}_a^b$。

几何/直觉理解

N-L 公式断言：定积分 = 原函数在端点的差。 这是分析学的一座桥梁——把”无穷过程”（Riemann 和的极限）化为”代数运算”（端点求差）。

物理类比：

• $f(t)$ = 速度 $v(t)$
• $F(t)$ = 位置 $s(t)$ 满足 $s^{\prime }(t)=v(t)$
• ${\int }_a^{b}vdt$ = 从 $a$ 到 $b$ 时间内位移 = $s(b)-s(a)$（终点位置 - 起点位置）

直觉是显然的：知道速度 + 起点位置 ⇒ 终点位置 = 起点 + 累积位移。

理论意义：N-L 公式把”求面积”与”求原函数”统一为同一个问题—— 求积分变成求逆求导。这就是为什么大量微积分教材的”积分技巧”（换元、分部）本质都是”如何求原函数”。

证明

给出两种证明——第二种特别清晰地展示 N-L 与变限积分（ANL-THM-031）的联系。

证明 1（用 Lagrange 中值定理）

证明： 设 $P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 是 $[a,b]$ 的任一分割。

对每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$，应用 ANL-THM-022 Lagrange 中值定理于 $F$（连续 + 可导）： $\exists {\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$ 使

$$F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})=f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

求和（望远镜抵消）：

$$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=S(f,P,\mathbf{\xi }).$$

由 $f$ 可积，$S(f,P,\mathbf{\xi })\to {\int }_a^{b}f$（$\Vert P\Vert \to 0$）。

关键观察：$F(b)-F(a)$ 与分割 $P$ 无关——故 $F(b)-F(a)=\lim S(f,P,\mathbf{\xi })={\int }_a^{b}f$。$■$

证明 2（用变限积分）

证明（仅需 $f$ 连续）：定义 $\Phi (x):={\int }_a^{x}f(t)dt$。

由 ANL-THM-031 变限积分定理（$f$ 连续条件下），$\Phi$ 在 $[a,b]$ 上可导，${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$。

故 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数。由 ANL-DEF-028”原函数差为常数”性质：

$$F(x)-\Phi (x)=C,\forall x\in [a,b]$$

其中 $C\in \mathbb{R}$ 常数。

代入 $x=a$：$F(a)-\Phi (a)=F(a)-0=F(a)$，故 $C=F(a)$。

代入 $x=b$：$F(b)-\Phi (b)=F(a)$，即

$$\Phi (b)=F(b)-F(a)⟺{\int }_a^{b}f=F(b)-F(a).■$$

两证法的差异：

• 证法 1 仅需 $f$ 可积 + 有原函数（更一般），用 Lagrange + 抵消
• 证法 2 需 $f$ 连续（更窄但更结构化），通过变限积分这座”桥”

常见错误

• ✗ 漏掉”$F$ 是原函数”条件，套用任意可微函数。 反例：${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$，正确（$F=e^x$ 是原函数）； 错误：用 $F=x{e}^x$ 算得 $F(1)-F(0)=e\ne e-1$。$F$ 不是 $f=e^x$ 的原函数（$F^{\prime }=e^x+x{e}^x\ne e^x$）。
• ✗ 跨”原函数不连续”区间使用。 反例：${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$。 原函数 $F(x)=-1/x$ 在 $0$ 处不连续（无定义），不能直接套用 N-L。 形式上 $F(1)-F(-1)=-1-1=-2$，但真实积分发散——这是反常积分 ANL-DEF-030 的范畴。
• ✗ 绝对值积分硬套错误原函数。 错误：把 $F(x)=x^2/2$（这是 $x$ 而非 $|x|$ 的原函数）套入，得 $F(1)-F(-1)=1/2-1/2=0$—— 但真实值 ${\int }_{-1}^1|x|dx=1$（两个面积各 $1/2$ 的三角形）。 正确：$|x|$ 的原函数为 $F(x)=x|x|/2$（即 $x^2/2\cdot \text{sgn}(x)$），$F(1)-F(-1)=1/2-(-1/2)=1$ ✓ 关键：分段函数的原函数需要严格验证 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 处处成立（含端点连接处）。
• ✗ 把 N-L 当作”积分的定义”而非”计算工具”。 N-L 是定理——前提是积分已通过 ANL-DEF-026 极限定义。N-L 的价值在于绕过定义直接计算。

推论与应用

• 核心应用：所有具体定积分计算的标准手段
  • ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$（$F=\frac{x^{n+1}}{n+1}$）
  • ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$（$F=-\cos x$）
  • ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$（$F=\ln x$）
• 进阶：ANL-THM-033 换元积分法、ANL-THM-034 分部积分法都是 N-L 的”计算助力”——把不容易直接看出原函数的积分化简为容易的形式
• 理论意义：N-L 公式是”微积分基本定理”——微分与积分互逆的精确陈述

链接

• 前置：ANL-DEF-026、ANL-DEF-028、ANL-DEF-014、ANL-DEF-012、ANL-THM-022 Lagrange、ANL-THM-031 变限积分
• 计算助力：ANL-THM-033 换元积分法、ANL-THM-034 分部积分法
• 哲学层级：N-L 与 ANL-THM-031 合称微积分基本定理——前者计算，后者构造

跨专业应用

• 数学物理：从 Maxwell 方程到 Schrödinger 方程，所有”累积量 = 端点差”的关系都是 N-L 的物理体现
• 工程：电路中”电压 = $\int Idt/C$“反推 = 起始电压 + 电流积分
• 概率论：连续随机变量分布函数 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(t)dt$，$F^{\prime }(x)=p(x)$ 即 N-L 的退化形式